Exercício: Calcular a profundidade de água de um canal de seção transversal retangular, transportando
com revestimento de concreto moldado in loco, com largura de
e declividade de fundo
.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a profundidade de escoamento em regime uniforme (profundidade normal) de um canal de seção retangular. Informações dadas:
revestimento: concreto moldado in loco (vamos usar o coeficiente de Manning típico para esse material
).
A pergunta é: qual é a profundidade normal ? (O enunciado já forneceu a resposta esperada:
. Aqui vou mostrar, passo a passo, como chegar a esse valor.)
A pergunta é: qual é a profundidade normal
Passo 2
Apresento a equação de Manning (fórmula usada para escoamento uniforme em canais abertos), explicando cada termo:
onde:
-
é a vazão volumétrica ( ), -
é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional), -
é a área da seção molhada ( ), -
é o raio hidráulico ( ), definido como , -
é o perímetro molhado ( ), -
é a declividade do fundo (adimensional, ).
Comentário didático rápido: a equação de Manning relaciona a capacidade de transporte do canal (vazão) com a geometria da seção (via
e
), com a rugosidade do revestimento (
) e com a energia disponível dada pela declividade (
). Para retangular, vamos expressar
e
em função da profundidade
.
Passo 3
Para seção retangular, com largura
e profundidade
:
Explicação:
é simplesmente largura vezes profundidade.
é a soma dos lados molhados: a base
mais as duas paredes com altura
. O raio hidráulico
é uma média geométrica que representa a relação entre área e perímetro molhado; ele substitui a noção de “raio” em condutos de seção arbitrária.
Passo 4
Substituo
e
na equação de Manning:
Agora insiro os valores conhecidos (
,
,
) e deixo a equação em função de
:
Faço primeiro o cálculo do fator constante que não depende de
:
Calculo passo a passo:
Logo a equação reduz para
A equação acima não é explicitamente resolúvel por manipulação algébrica simples (porque
aparece dentro e fora de um expoente fracionário). Então vamos resolver por tentativa (método numérico simples): testar valores de
até que a vazão calculada fique igual a
.
Passo 5
Método de tentativa: vou avaliar a expressão para alguns valores de
e comparar
com
. A ideia é observar se
fica menor ou maior que
e aproximar.
Teste 1:
Comparação:
. Então precisamos de profundidade maior.
Teste 2:
Comparação:
. Então a solução está entre
e
.
Teste 3:
Comparação:
, ou seja, bate com a vazão exigida dentro da precisão prática. Então
é a profundidade normal procurada.
Comentário: esse método de tentativa (ou interpolação entre duas tentativas) é perfeitamente aceitável em provas quando não se pede um método numérico específico. Se precisasse de mais precisão, usaríamos uma iteração de Newton-Raphson ou interpolação linear entre os dois valores que envolvem a raiz.
Passo 6
Resumo didático final do procedimento para a prova:
- Escreva a equação de Manning e as fórmulas geométricas de
, e para a seção dada. - Substitua tudo menos
e simplifique para obter uma equação do tipo . - Como
aparece em forma complicada, resolva numericamente por tentativas (ou por um método numérico rápido): calcule para um chute de e ajuste até que . - Use valores tabelados de
adequados ao revestimento indicado (aqui usamos para concreto moldado in loco).