Exercício: Calcular a profundidade de água de um canal de seção transversal retangular, transportando 0,05 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} com revestimento de concreto moldado in loco, com largura de 0,5 \mathrm{~m} e declividade de fundo 0,005 \mathrm{~m} / \mathrm{m}.
\mathrm{R}: \mathrm{y}_{0}=0,11 \mathrm{~m}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a profundidade de escoamento em regime uniforme (profundidade normal) de um canal de seção retangular. Informações dadas:
Q = 0,05\\ \mathrm{m^3/s}
b = 0,5\\ \mathrm{m}
S_0 = 0,005\\ \mathrm{m/m}
revestimento: concreto moldado in loco (vamos usar o coeficiente de Manning típico para esse material n = 0,014).
A pergunta é: qual é a profundidade normal \,y_0? (O enunciado já forneceu a resposta esperada: y_0 = 0,11\\ \mathrm{m}. Aqui vou mostrar, passo a passo, como chegar a esse valor.)

Passo 2

Apresento a equação de Manning (fórmula usada para escoamento uniforme em canais abertos), explicando cada termo:
Q = \frac{1}{n} \, A \, R^{2/3} \, S_0^{1/2}
onde:
  • Q é a vazão volumétrica ( \mathrm{m^3/s}),
  • n é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional),
  • A é a área da seção molhada ( \mathrm{m^2}),
  • R é o raio hidráulico ( \mathrm{m}), definido como R = \dfrac{A}{P},
  • P é o perímetro molhado ( \mathrm{m}),
  • S_0 é a declividade do fundo (adimensional, \mathrm{m/m}).
Comentário didático rápido: a equação de Manning relaciona a capacidade de transporte do canal (vazão) com a geometria da seção (via A e R), com a rugosidade do revestimento ( n) e com a energia disponível dada pela declividade ( S_0). Para retangular, vamos expressar A e P em função da profundidade y.

Passo 3

Para seção retangular, com largura b e profundidade y:
A = b\,y
P = b + 2y
R = \frac{A}{P} = \frac{b\,y}{b + 2y}
Explicação: A é simplesmente largura vezes profundidade. P é a soma dos lados molhados: a base b mais as duas paredes com altura y. O raio hidráulico R é uma média geométrica que representa a relação entre área e perímetro molhado; ele substitui a noção de “raio” em condutos de seção arbitrária.

Passo 4

Substituo A e R na equação de Manning:
Q = \frac{1}{n}\,(b y)\left(\frac{b y}{b + 2y}\right)^{2/3} S_0^{1/2}
Agora insiro os valores conhecidos ( b = 0,5\\ \mathrm{m}, S_0 = 0,005, n = 0,014) e deixo a equação em função de y:
Q = \frac{1}{0,014}\,(0,5\,y)\left(\frac{0,5\,y}{0,5 + 2y}\right)^{2/3} (0,005)^{1/2}
Faço primeiro o cálculo do fator constante que não depende de y:
\frac{1}{n}\,S_0^{1/2} = \frac{1}{0,014}\sqrt{0,005}
Calculo passo a passo:
\sqrt{0,005} \approx 0,0707107
\frac{1}{0,014} \approx 71,4286
\Rightarrow \frac{1}{n}\,S_0^{1/2} \approx 71,4286 \times 0,0707107 \approx 5,05
Logo a equação reduz para
Q \approx 5{,}05 \times (0,5\,y)\left(\frac{0,5\,y}{0,5 + 2y}\right)^{2/3}
Q \approx 2{,}525\,y\left(\frac{0,5\,y}{0,5 + 2y}\right)^{2/3}
A equação acima não é explicitamente resolúvel por manipulação algébrica simples (porque y aparece dentro e fora de um expoente fracionário). Então vamos resolver por tentativa (método numérico simples): testar valores de y até que a vazão calculada fique igual a Q=0,05\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 5

Método de tentativa: vou avaliar a expressão para alguns valores de y e comparar Q_{\text{calc}} com Q=0,05\\ \mathrm{m^3/s}. A ideia é observar se Q_{\text{calc}} fica menor ou maior que 0,05 e aproximar.
Teste 1: y = 0,10\\ \mathrm{m}
A = 0,5 \times 0,10 = 0,05\\ \mathrm{m^2}
P = 0,5 + 2\times 0,10 = 0,70\\ \mathrm{m}
R = \frac{0,05}{0,70} \approx 0,0714286\\ \mathrm{m}
R^{2/3} \approx 0,0714286^{2/3} \approx 0,172
A\,R^{2/3} \approx 0,05 \times 0,172 = 0,0086
Q_{\text{calc}} \approx 5{,}05 \times 0,0086 \approx 0,0434\\ \mathrm{m^3/s}
Comparação: 0,0434 < 0,05. Então precisamos de profundidade maior.
Teste 2: y = 0,12\\ \mathrm{m}
A = 0,5 \times 0,12 = 0,06\\ \mathrm{m^2}
P = 0,5 + 2\times 0,12 = 0,74\\ \mathrm{m}
R = \frac{0,06}{0,74} \approx 0,0810811\\ \mathrm{m}
R^{2/3} \approx 0,0810811^{2/3} \approx 0,187
A\,R^{2/3} \approx 0,06 \times 0,187 = 0,01122
Q_{\text{calc}} \approx 5{,}05 \times 0,01122 \approx 0,0567\\ \mathrm{m^3/s}
Comparação: 0,0567 > 0,05. Então a solução está entre 0,10 e 0,12.
Teste 3: y = 0,11\\ \mathrm{m}
A = 0,5 \times 0,11 = 0,055\\ \mathrm{m^2}
P = 0,5 + 2\times 0,11 = 0,72\\ \mathrm{m}
R = \frac{0,055}{0,72} \approx 0,0763889\\ \mathrm{m}
R^{2/3} \approx 0,0763889^{2/3} \approx 0,180
A\,R^{2/3} \approx 0,055 \times 0,180 = 0,0099
Q_{\text{calc}} \approx 5{,}05 \times 0,0099 \approx 0,0500\\ \mathrm{m^3/s}
Comparação: Q_{\text{calc}} \approx 0,05, ou seja, bate com a vazão exigida dentro da precisão prática. Então y = 0,11\\ \mathrm{m} é a profundidade normal procurada.
Comentário: esse método de tentativa (ou interpolação entre duas tentativas) é perfeitamente aceitável em provas quando não se pede um método numérico específico. Se precisasse de mais precisão, usaríamos uma iteração de Newton-Raphson ou interpolação linear entre os dois valores que envolvem a raiz.

Passo 6

Resumo didático final do procedimento para a prova:
  • Escreva a equação de Manning e as fórmulas geométricas de A, P e R para a seção dada.
  • Substitua tudo menos y e simplifique para obter uma equação do tipo Q = f(y).
  • Como y aparece em forma complicada, resolva numericamente por tentativas (ou por um método numérico rápido): calcule Q_{\text{calc}} para um chute de y e ajuste até que Q_{\text{calc}} \approx Q.
  • Use valores tabelados de n adequados ao revestimento indicado (aqui usamos n = 0,014 para concreto moldado in loco).

Resposta

y_0 = 0,11\\ \mathrm{m}

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