Um bloco cúbico com massa m=5 \mathrm{~kg} e com arestas de 30 cm é empurrado para cima sobre uma superficie inclinada ( \theta=30^{\circ}) sobre a qual há uma pelicula de óleo cuja viscosidade é \mu=7,5 \times 10^{-2} \mathrm{~N} \times \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2}. Se a velocidade do bloco é de 0,35 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e a película possui espessura h=0,0025 \mathrm{~cm}, determine a força requerida para puxar o bloco.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a força necessária para puxar um bloco cúbico escorregando para cima de um plano inclinado a \theta = 30^\circ, movendo-se com velocidade constante 0,35\\ \mathrm{m/s}, quando entre o bloco e a superfície há uma película de óleo viscosa.\n
Dados fornecidos:
m=5\\ \mathrm{kg}
\text{aresta do cubo } a=30\\ \mathrm{cm}
\theta=30^\circ
\mu=7,5\times10^{-2}\\ \mathrm{N\cdot s/m^2}
v=0,35\\ \mathrm{m/s}
h=0,0025\\ \mathrm{cm}
Pergunta específica: qual a força F (paralela ao plano, puxando o bloco para cima) necessária para manter velocidade constante?

Passo 2

Primeiro uniformizamos as unidades (peguei a e h do enunciado):
a=30\\ \mathrm{cm}=0,30\\ \mathrm{m}
A=\text{área de contato} = a^2 = (0,30\\ \mathrm{m})^2 = 0,09\\ \mathrm{m^2}á
h=0,0025\\ \mathrm{cm}=2,5\times10^{-5}\\ \mathrm{m}
Usamos g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 3

Escrevemos a condição de equilíbrio do bloco movendo-se com velocidade constante (aceleração nula) ao longo do plano: a força aplicada F para cima deve equilibrar a componente do peso para baixo mais a força de resistência viscosa. Em forma de equação:
F - mg\sin\theta - F_{\text{visc}} = 0
Logo,
F = mg\sin\theta + F_{\text{visc}}
Aqui:
  • mg\sin\theta é a componente do peso paralela ao plano que puxa o bloco para baixo;
  • F_{\text{visc}} é a força proveniente do cisalhamento viscoso na película de óleo.

Passo 4

Explicação e fórmula da resistência viscosa (aula curta): para um fluido newtoniano em camada delgada entre duas superfícies paralelas, o esforço de cisalhamento (tensão de cisalhamento) na superfície é dado por
\tau = \mu \frac{du}{dy},
onde
  • \tau é a tensão de cisalhamento (em \mathrm{N/m^2});
  • \mu é a viscosidade dinâmica (em \mathrm{N\cdot s/m^2});
  • \frac{du}{dy} é o gradiente de velocidade perpendicular à camada (em \mathrm{s^{-1}}), aproximadamente v/h se o perfil de velocidade for quase linear (bom modelo para película muito fina).
    A força total de arrasto viscosa sobre a área A é
F_{\text{visc}} = \tau \, A = \mu \frac{v}{h} A.

Passo 5

Calculamos o gradiente de velocidade:
\frac{v}{h} = \frac{0,35}{2,5\times10^{-5}} = 1,4\times10^{4}\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 6

Calculamos a tensão de cisalhamento \tau:
\tau = \mu\frac{v}{h} = 7,5\times10^{-2}\times 1,4\times10^{4} = 1,05\times10^{3}\\ \mathrm{N/m^2}.

Passo 7

Agora a força viscosa sobre a área A=0,09\\ \mathrm{m^2}:
F_{\text{visc}} = \tau A = 1,05\times10^{3}\times 0,09 = 94,5\\ \mathrm{N}.

Passo 8

Calculamos a componente do peso paralela ao plano:
mg\sin\theta = 5\times 9,8 \times \sin30^\circ = 5\times 9,8 \times 0,5 = 24,5\\ \mathrm{N}.

Passo 9

Substituímos na expressão para F. Mantendo a soma explícita (a resposta numérica final será só no campo de resposta):
F = mg\sin\theta + F_{\text{visc}} = 24,5 + 94,5.

Resposta

119,0\\ \mathrm{N}

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