(20) Um anel de raio R localizado no plano
com centro na origem tem carga total positiva
uniformemente distribuída.
(b)Mostre que ao longo do eixo do anel o campo elétrico tem apenas a componente
e calule
em um ponto do eixo do anel com coordenadas
.
(b)Mostre que ao longo do eixo do anel o campo elétrico tem apenas a componente
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos um anel de raio
no plano
com centro na origem e carga total positiva
distribuída uniformemente ao longo do anel. A gente quer ver que, no eixo que sai do centro do anel (eixo
), o campo elétrico
só aponta para cima ou para baixo (ou seja, só tem componente
) e ainda calcular essa componente
em um ponto
.
Conteúdo: lei de Coulomb, superposição de cargas e simetria. Vamos precisar decompor infinitos tiquinhos de carga , usar a lei de Coulomb para cada um e somar (integrar), além de argumentar pela simetria que as partes em
e
se cancelam.
Conteúdo: lei de Coulomb, superposição de cargas e simetria. Vamos precisar decompor infinitos tiquinhos de carga
Passo 2
Primeiro, simetria manda que, para cada pedacinho de carga num ângulo
do anel, existe outro em
que dá contribuição igual em módulo mas oposta nas direções
e
. Então todas as projeções em
e em
se cancelam e sobra só a projeção no
. Isso mostra que
ao longo do eixo tem apenas componente
.
Passo 3
Agora, pega um pedacinho de carga
localizado em
. A distância desse ponto até
é
Pela lei de Coulomb, o módulo do campo desse
em
é
Mas esse vetor
forma um ângulo
com o eixo
tal que
. Logo, a contribuição só em
é
Passo 4
Como a carga está uniformemente distribuída, a gente integra
ao longo do anel e simplesmente troca
, pois o resto é constante em
:
Resposta
e
aponta ao longo do eixo
.