(20) Um anel de raio R localizado no plano x y com centro na origem tem carga total positiva Q uniformemente distribuída.
(b)Mostre que ao longo do eixo do anel o campo elétrico tem apenas a componente z e calule Ez(z) em um ponto do eixo do anel com coordenadas (0,0, z).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos um anel de raio no plano com centro na origem e carga total positiva distribuída uniformemente ao longo do anel. A gente quer ver que, no eixo que sai do centro do anel (eixo ), o campo elétrico só aponta para cima ou para baixo (ou seja, só tem componente ) e ainda calcular essa componente em um ponto .
Conteúdo: lei de Coulomb, superposição de cargas e simetria. Vamos precisar decompor infinitos tiquinhos de carga , usar a lei de Coulomb para cada um e somar (integrar), além de argumentar pela simetria que as partes em e se cancelam.

Passo 2

Primeiro, simetria manda que, para cada pedacinho de carga num ângulo do anel, existe outro em que dá contribuição igual em módulo mas oposta nas direções e . Então todas as projeções em e em se cancelam e sobra só a projeção no . Isso mostra que ao longo do eixo tem apenas componente .

Passo 3

Agora, pega um pedacinho de carga r ;=;raiz(Rcosphi-0)^2 + (Rsinphi-0)^2 + (0-z)^2 =raizR^2+z^2, localizado em dE ;=;14pivarepsilon0,dQr^2 ;=;14pivarepsilon0,dQ(R^2+z^2) . A distância desse ponto até dEz ;=;dEcostheta ;=;14pivarepsilon0,dQ(R^2+z^2), zraizR^2+z^2 ;=;14pivarepsilon0,z,dQ(R^2+z^2)^3/2 é
Pela lei de Coulomb, o módulo do campo desse em é
Mas esse vetor forma um ângulo com o eixo tal que . Logo, a contribuição só em é

Passo 4

Como a carga está uniformemente distribuída, a gente integra Ez(z) =integral dEz =14pivarepsilon0,z(R^2+z^2)^3/2integral dQ =14pivarepsilon0,Q,z(R^2+z^2)^3/2 ao longo do anel e simplesmente troca , pois o resto é constante em :

Resposta

boxedEz(z) =14pivarepsilon0,Q,zl(R^2+z^2r)^3/2
e aponta ao longo do eixo .

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