19- O colesterol enantiomericamente puro tem [\alpha]^{20}{ }_{D}=-39^{\circ}. Com o objetivo de determinar a concentração em g/mL de colesterol em uma amostra de sangue, um estudante mediu a rotação óptica da amostra e obteve um desvio de -6,52^{\circ}. Sabendo que a medida foi feita em um polarímetro, cujo tubo de análise media 10 cm , determine a concentração de colesterol na amostra, verificada pelo aluno.

Passo 1

O enunciado pede que você determine a concentração de colesterol (em g/mL) em uma amostra, a partir de uma medida de rotação óptica. Dados fornecidos:
[\alpha]^{20}_{D} = -39^\circ
(valor de rotação específica do colesterol enantiomericamente puro),
\alpha_{\text{obs}} = -6,52^\circ
(rotação medida pelo estudante),
e o tubo do polarímetro tem comprimento de 10\\ \text{cm} (comprimento do caminho óptico dentro do aparelho). A pergunta é: qual é a concentração de colesterol na amostra, em \mathrm{g/mL}, verificada pelo aluno?

Passo 2

Conceptual: vamos usar a definição de rotação específica. A rotação específica relaciona a rotação observada à concentração e ao comprimento do tubo por meio da fórmula
[\alpha]^{T}_{\lambda} = \frac{\alpha_{\text{obs}}}{l\,c}.
Explicando cada símbolo:
  • [\alpha]^{T}_{\lambda} é a rotação específica (aqui [\alpha]^{20}_{D}), em graus por (dm·(g/mL)). É uma constante característica da substância pura e da temperatura/linha de luz.
  • \alpha_{\text{obs}} é a rotação observada (em graus).
  • l é o comprimento do tubo (em decímetros, dm). IMPORTANTE: a fórmula exige l em decímetros.
  • c é a concentração da amostra em \mathrm{g/mL}.
Nosso objetivo é isolar c nessa fórmula para calcular a concentração a partir dos dados.

Passo 3

Converter o comprimento do tubo para a unidade correta (decímetros). O tubo tem 10\\ \text{cm}. Sabendo que 1\\ \text{dm}=10\\ \text{cm}, temos:
l = 10\\ \text{cm} = 1,0\\ \text{dm}.

Passo 4

Isolar c na fórmula. Partindo de
[\alpha]^{20}_{D} = \frac{\alpha_{\text{obs}}}{l\,c},
multiplicamos ambos os lados por l\,c e dividimos por [\alpha]^{20}_{D} para obter
c = \frac{\alpha_{\text{obs}}}{[\alpha]^{20}_{D}\, l}.
Observação sobre sinais: tanto \alpha_{\text{obs}} quanto [\alpha]^{20}_{D} são negativos (porque a substância gira o plano da luz no sentido negativo), então o quociente será positivo — faz sentido físico: concentração é positiva.

Passo 5

Substituir os valores numéricos na expressão. Usando \alpha_{\text{obs}} = -6,52^\circ, [\alpha]^{20}_{D} = -39^\circ e l=1{,}0\\ \text{dm}:
c = \frac{-6{,}52}{-39 \cdot 1{,}0} = \frac{6{,}52}{39}.
Agora fazemos a divisão:
\frac{6{,}52}{39} \approx 0{,}167179\ldots
Arredondando de forma apropriada (três algarismos significativos, por exemplo), obtemos
c \approx 0{,}167\\ \mathrm{g/mL}.

Passo 6

Interpretação e conversões rápidas (úteis na prova): c=0{,}167\\ \mathrm{g/mL} equivale a 167\\ \mathrm{g/L} ou 167\\ \mathrm{mg/mL}. Essas conversões vêm de multiplicar por 1000 quando se vai de \mathrm{g/mL} para \mathrm{g/L}.

Resposta

c = 0{,}167\\ \mathrm{g/mL}

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