19 Em um cone circular reto de altura 4 raiz2 cm, a área total é o quádruplo da área da base. Calcule a medida, em grau, do ângulo central do setor circular equivalente à superfície lateral desse cone.

Passo 1

O enunciado dá um cone circular reto de altura 4raiz2 cm e diz que a área total desse cone é o quádruplo da área da base. Queremos encontrar o ângulo central theta (em graus) do setor que gera a superfície lateral. Vamos usar:
– Área da base pi r^2
– Área lateral pi r l
– Relação da geratriz l = raizr^2 + h^2
– Área de um setor de raio l e ângulo theta: tfractheta360^circ,pi l^2.

Passo 2

Escrevemos a condição de área total:
área total = área da base + área lateral ááá
pi r^2 + pi r l = 4pi r^2
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pi r l = 3pi r^2 Longrightarrow l = 3r

Passo 3

Aplicando l^2 = r^2 + h^2 com h=4raiz2 e l=3r:
(3r)^2 = r^2 + (4raiz2)^2 Longrightarrow 9r^2 = r^2 + 32 Longrightarrow 8r^2 = 32 Longrightarrow r^2 = 4 Longrightarrow r = 2, l = 6

Passo 4

A área lateral do cone é
pi r l = picdot 2cdot 6 = 12pi
Essa área deve coincidir com a área do setor de raio l e ângulo theta:
theta360^circ,pi l^2 = theta360^circ,36pi = 12pi Longrightarrow theta360^circ,36 = 12 Longrightarrow theta = 120^circ

Resposta

120^circ

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