19 Demonstre que no espaço livre
, as equações de Maxwell são obtidas corretamente a partir de uma só função vetorial A que satisfaz
O sistema no qual
é chamado de sistema de Coulomb.
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos mostrar que, em espaço livre
,
, definindo o potencial vetorial
no gauge de Coulomb
e exigindo que ele satisfaça a equação de onda
as quatro equações de Maxwell em vazio surgem automaticamente. Para isso, vamos usar as definições
e observar que, em vazio e nesse gauge,
se anula.
Passo 2
Mostramos que as equações homogêneas de Maxwell são identicamente satisfeitas pelas definições de
e
. Como
segue-se imediatamente que
e, usando
temos
pois
. Logo
Passo 3
Agora cuidamos das equações não homogêneas. Primeiro, a lei de Gauss para
:
Em vazio e no gauge de Coulomb, a equação do potencial escalar é
Assim
e, usando
,
o que coincide com
.
Passo 4
Por fim, a lei de Ampère–Maxwell em vazio:
Substituindo
e
, obtemos
Mas
(porque
), logo
é exatamente a equação de onda dada para
.
Resposta
Com as definições
,
e a condição de Coulomb
mais a equação de onda para
, as quatro equações de Maxwell em espaço livre são satisfeitas automaticamente.