Partindo de uma expressão para a força por unidade de volume sobre uma região do espaço livre que contém cargas e correntes:
e usando as equações de Maxwell e a identidade vetorial da Eq. (14-24), demonstre que
(A quantidade
é chamada, às vezes, de densidade de momentum do campo eletromagnético.)
Passo 1
O enunciado parte da densidade de força eletromagnética em meio livre
e pede para reescrevê-la só em função dos campos
e
, usando as equações de Maxwell e uma identidade vetorial que relaciona
e
. Vamos precisar de
-
, -
, -
, - as identidades
Passo 2
Expressamos
e
em termos dos campos. Da lei de Gauss,
Da lei de Ampère–Maxwell,
Substituindo em
fica
Passo 3
Reescrevendo
, temos
O último termo rearranja-se usando a derivada do produto vetorial:
E pela lei de Faraday
, logo
Passo 4
Aplicamos as identidades vetoriais aos dois termos do tipo “
” e “
”:
Substituindo tudo em
resulta em
Passo 5
Agrupando termos e rearranjando os gradientes de escalares, obtemos