Partindo de uma expressão para a força por unidade de volume sobre uma região do espaço livre que contém cargas e correntes:
\mathbf{F}_{v}=\rho \mathbf{E}+\mathbf{J} \times \mathbf{B},
e usando as equações de Maxwell e a identidade vetorial da Eq. (14-24), demonstre que
\begin{aligned} \mathbf{F}_{v}= & -\epsilon_{0} \frac{\partial}{\partial t}(\mathbf{E} \times \mathbf{B})+\epsilon_{0} \mathbf{E} \nabla \cdot \mathbf{E}-\frac{1}{2} \epsilon_{0} \nabla\left(E^{2}\right)+\epsilon_{0}(\mathbf{E} \cdot \nabla) \mathbf{E} \\\ & +\frac{1}{\mu_{0}} \mathbf{B} \nabla \cdot \mathbf{B}-\frac{1}{2 \mu_{0}} \nabla\left(B^{2}\right)+\frac{1}{\mu_{0}}(\mathbf{B} \cdot \nabla) \mathbf{B} . \end{aligned}
(A quantidade \epsilon_{0} \mathbf{E} \times \mathbf{B} é chamada, às vezes, de densidade de momentum do campo eletromagnético.)

Passo 1

O enunciado parte da densidade de força eletromagnética em meio livre
\mathbf{F}_{v} = \rho\,\mathbf{E} + \mathbf{J}\times\mathbf{B}
e pede para reescrevê-la só em função dos campos \mathbf{E} e \mathbf{B}, usando as equações de Maxwell e uma identidade vetorial que relaciona (\nabla\times\mathbf{A})\times\mathbf{A} e \mathbf{A}\times(\nabla\times\mathbf{A}). Vamos precisar de
  1. \nabla\cdot\mathbf{E} = \rho/\epsilon_{0},
  2. \nabla\times\mathbf{B} = \mu_{0}\mathbf{J} + \mu_{0}\epsilon_{0}\,\partial\mathbf{E}/\partial t,
  3. \nabla\times\mathbf{E} = -\,\partial\mathbf{B}/\partial t,
  4. as identidades
(\nabla\times\mathbf{B})\times\mathbf{B} = (\mathbf{B}\cdot\nabla)\mathbf{B} - \tfrac12\nabla(B^2) + \mathbf{B}\,(\nabla\cdot\mathbf{B}),
\mathbf{E}\times(\nabla\times\mathbf{E}) = \tfrac12\nabla(E^2) - (\mathbf{E}\cdot\nabla)\mathbf{E}.

Passo 2

Expressamos \rho e \mathbf{J} em termos dos campos. Da lei de Gauss,
\rho = \epsilon_{0}\,\nabla\cdot\mathbf{E} \quad\Longrightarrow\quad \rho\,\mathbf{E} = \epsilon_{0}\,\mathbf{E}\,(\nabla\cdot\mathbf{E}).
Da lei de Ampère–Maxwell,
\mathbf{J} = \frac{1}{\mu_{0}}\,(\nabla\times\mathbf{B}) - \epsilon_{0}\,\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}.
Substituindo em \mathbf{J}\times\mathbf{B} fica
\mathbf{J}\times\mathbf{B} = \frac{1}{\mu_{0}}\;(\nabla\times\mathbf{B})\times\mathbf{B} \;-\;\epsilon_{0}\,\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\times\mathbf{B}.

Passo 3

Reescrevendo \mathbf{F}_{v}, temos
\mathbf{F}_{v} = \epsilon_{0}\,\mathbf{E}\,(\nabla\cdot\mathbf{E}) + \frac{1}{\mu_{0}}\;(\nabla\times\mathbf{B})\times\mathbf{B} - \epsilon_{0}\,\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\times\mathbf{B}.
O último termo rearranja-se usando a derivada do produto vetorial:
-\,\epsilon_{0}\,\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\times\mathbf{B} = -\,\epsilon_{0}\,\frac{\partial}{\partial t}(\mathbf{E}\times\mathbf{B}) + \epsilon_{0}\,\mathbf{E}\times\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}.
E pela lei de Faraday \partial\mathbf{B}/\partial t = -\,\nabla\times\mathbf{E}, logo
\epsilon_{0}\,\mathbf{E}\times\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} = -\,\epsilon_{0}\,\mathbf{E}\times(\nabla\times\mathbf{E}).

Passo 4

Aplicamos as identidades vetoriais aos dois termos do tipo “ \mathbf{A}\times(\nabla\times\mathbf{A})” e “ (\nabla\times\mathbf{B})\times\mathbf{B}”:
(\nabla\times\mathbf{B})\times\mathbf{B} = (\mathbf{B}\cdot\nabla)\mathbf{B} - \tfrac12\,\nabla(B^2) + \mathbf{B}\,(\nabla\cdot\mathbf{B}),
\mathbf{E}\times(\nabla\times\mathbf{E}) = \tfrac12\,\nabla(E^2) - (\mathbf{E}\cdot\nabla)\mathbf{E}.
Substituindo tudo em \mathbf{F}_{v} resulta em
\mathbf{F}_{v} = -\,\epsilon_{0}\,\frac{\partial}{\partial t}(\mathbf{E}\times\mathbf{B}) + \epsilon_{0}\,\mathbf{E}\,(\nabla\cdot\mathbf{E}) + \frac{1}{\mu_{0}}\Bigl[(\mathbf{B}\cdot\nabla)\mathbf{B} - \tfrac12\,\nabla(B^2) + \mathbf{B}\,(\nabla\cdot\mathbf{B})\Bigr] - \epsilon_{0}\Bigl[\tfrac12\,\nabla(E^2) - (\mathbf{E}\cdot\nabla)\mathbf{E}\Bigr].

Passo 5

Agrupando termos e rearranjando os gradientes de escalares, obtemos
\mathbf{F}_{v} = -\,\epsilon_{0}\,\frac{\partial}{\partial t}(\mathbf{E}\times\mathbf{B}) + \epsilon_{0}\,\mathbf{E}\,(\nabla\cdot\mathbf{E}) - \tfrac12\,\epsilon_{0}\,\nabla(E^2) + \epsilon_{0}\,(\mathbf{E}\cdot\nabla)\mathbf{E} + \frac{1}{\mu_{0}}\,\mathbf{B}\,(\nabla\cdot\mathbf{B}) - \tfrac{1}{2\mu_{0}}\,\nabla(B^2) + \frac{1}{\mu_{0}}\,(\mathbf{B}\cdot\nabla)\mathbf{B}.

Resposta

\boxed{ \begin{aligned} \mathbf{F}_{v}= & -\epsilon_{0} \frac{\partial}{\partial t}(\mathbf{E} \times \mathbf{B}) +\epsilon_{0}\,\mathbf{E}\,\nabla\cdot\mathbf{E} -\tfrac12\,\epsilon_{0}\,\nabla\bigl(E^{2}\bigr) +\epsilon_{0}\,(\mathbf{E}\cdot\nabla)\mathbf{E} \\\ & +\frac{1}{\mu_{0}}\,\mathbf{B}\,\nabla\cdot\mathbf{B} -\tfrac{1}{2\mu_{0}}\,\nabla\bigl(B^{2}\bigr) +\frac{1}{\mu_{0}}\,(\mathbf{B}\cdot\nabla)\mathbf{B}\,. \end{aligned} }

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