19 Demonstre que no espaço livre \operatorname{com} \rho=0, \mathbf{J}=0, as equações de Maxwell são obtidas corretamente a partir de uma só função vetorial A que satisfaz
\nabla \cdot \mathbf{A}=0, \quad \nabla^{2} \mathbf{A}-\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \mathbf{A}}{\partial t^{2}}=0
O sistema no qual \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{A}^{\prime}=0 é chamado de sistema de Coulomb.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos mostrar que, em espaço livre \rho=0, \mathbf{J}=0, definindo o potencial vetorial \mathbf{A} no gauge de Coulomb
\nabla\cdot\mathbf{A}=0
e exigindo que ele satisfaça a equação de onda
\nabla^{2}\mathbf{A}-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\mathbf{A}}{\partial t^{2}}=0,
as quatro equações de Maxwell em vazio surgem automaticamente. Para isso, vamos usar as definições
\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A},\qquad \mathbf{E}=-\nabla\varphi-\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t},
e observar que, em vazio e nesse gauge, \varphi se anula.

Passo 2

Mostramos que as equações homogêneas de Maxwell são identicamente satisfeitas pelas definições de \mathbf{E} e \mathbf{B}. Como
\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A},
segue-se imediatamente que
\nabla\cdot\mathbf{B}=\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A})=0
e, usando
\mathbf{E}=-\nabla\varphi-\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t},
temos
\nabla\times\mathbf{E}=-\nabla\times\Bigl(\nabla\varphi\Bigr)-\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\mathbf{A})=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t},
pois \nabla\times(\nabla\varphi)=0. Logo
\nabla\times\mathbf{E}+\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}=0.

Passo 3

Agora cuidamos das equações não homogêneas. Primeiro, a lei de Gauss para \mathbf{E}:
\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}=0.
Em vazio e no gauge de Coulomb, a equação do potencial escalar é
\nabla^{2}\varphi=-\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}=0\quad\Longrightarrow\quad \varphi=0\\ (\text{escolhemos constante nula}).
Assim
\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}
e, usando \nabla\cdot\mathbf{A}=0,
\nabla\cdot\mathbf{E}=-\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\cdot\mathbf{A})=0,
o que coincide com \rho=0.

Passo 4

Por fim, a lei de Ampère–Maxwell em vazio:
\nabla\times\mathbf{B}=\mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}.
Substituindo \mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A} e \mathbf{E}=-\partial_{t}\mathbf{A}, obtemos
\nabla\times(\nabla\times\mathbf{A})=-\mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{\partial^{2}\mathbf{A}}{\partial t^{2}}.
Mas \nabla\times(\nabla\times\mathbf{A})=\nabla(\nabla\cdot\mathbf{A})-\nabla^{2}\mathbf{A}=-\nabla^{2}\mathbf{A} (porque \nabla\cdot\mathbf{A}=0), logo
-\nabla^{2}\mathbf{A}=-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\mathbf{A}}{\partial t^{2}}
é exatamente a equação de onda dada para \mathbf{A}.

Resposta

Com as definições \mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}, \mathbf{E}=-\partial_{t}\mathbf{A} e a condição de Coulomb \nabla\cdot\mathbf{A}=0 mais a equação de onda para \mathbf{A}, as quatro equações de Maxwell em espaço livre são satisfeitas automaticamente.

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