21 É dado um meio no qual
, porém onde a magnetização
é uma ɪunçao dada. Demonstre que as equações de Maxwell são obtidas, corretamente, a partir de uma única função vetorial
, onde
satisfaz a equação
e onde
Passo 1
O enunciado diz que temos um meio sem cargas livres nem correntes livres
,
, com permissividade
e uma magnetização conhecida
. Queremos mostrar que, se introduzimos um potencial vetorial
que satisfaz
e definimos
então todas as equações de Maxwell (no caso somente com correntes ligadas
) são satisfeitas. A matéria usada será: identidade de divergência de um rotacional, de curl–curl, e o fato de que
.
Passo 2
Mostramos primeiro que
De fato, por definição
,
e vale sempre
para qualquer vetor . Portanto
e vale sempre
para qualquer vetor
que é exatamente a lei de Gauss para o campo magnético.
Passo 3
Verificamos a lei de Faraday,
.
Usando , temos
Usando
Passo 4
Agora derivamos a lei de Ampère–Maxwell com as correntes ligadas. Tomamos o rotacional de
:
Usamos a identidade
.
Se assumirmos a condição de calibre , isso dá
Se assumirmos a condição de calibre
Passo 5
Aplicamos a equação de onda para
,
.
Como curl e laplaciano comutam, obtemos
Como curl e laplaciano comutam, obtemos
Mas
.
E como , temos
E como
já que
e
.
Isso é exatamente a lei de Ampère–Maxwell com correntes ligadas.
Isso é exatamente a lei de Ampère–Maxwell com correntes ligadas.
Passo 6
Finalmente, como
foi definido como
, vale também
, pois divergência de um rotacional é zero. Isso corresponde à lei de Gauss sem cargas livres.
Resposta
Mostramos que, a partir de
obtemos as quatro equações de Maxwell no meio dado:
-
. -
. -
. -
.