21 É dado um meio no qual \rho=0, \mathbf{J}=0, \epsilon=\epsilon_{0}, porém onde a magnetização \mathrm{M}(x, y, z, t) é uma ɪunçao dada. Demonstre que as equações de Maxwell são obtidas, corretamente, a partir de uma única função vetorial Y, onde Y satisfaz a equação
\nabla^{2} \mathbf{Y}-\frac{1}{c^{2}} \frac{\hat{c}^{2} \mathbf{Y}}{\hat{c} t^{2}}=-\mu_{0} \mathbf{M}
e onde
\mathbf{B}=\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{Y}, \quad \mathbf{E}=-\boldsymbol{\Gamma} \times \frac{\partial \mathbf{Y}}{\partial t} .

Passo 1

O enunciado diz que temos um meio sem cargas livres nem correntes livres \rho=0, \mathbf{J}=0, com permissividade \epsilon=\epsilon_{0} e uma magnetização conhecida \mathbf{M}(x,y,z,t). Queremos mostrar que, se introduzimos um potencial vetorial \mathbf{Y}(x,y,z,t) que satisfaz
\nabla^{2}\mathbf{Y}-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\mathbf{Y}}{\partial t^{2}} =-\mu_{0}\,\mathbf{M},
e definimos
\mathbf{B}=\nabla\times\nabla\times\mathbf{Y}, \quad \mathbf{E}=-\nabla\times\frac{\partial\mathbf{Y}}{\partial t},
então todas as equações de Maxwell (no caso somente com correntes ligadas \mathbf{J}_{b}=\nabla\times\mathbf{M}) são satisfeitas. A matéria usada será: identidade de divergência de um rotacional, de curl–curl, e o fato de que c^{-2}=\mu_{0}\epsilon_{0}.

Passo 2

Mostramos primeiro que
\nabla\cdot\mathbf{B}=0.
De fato, por definição \mathbf{B}=\nabla\times(\nabla\times\mathbf{Y}),
e vale sempre \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A})=0
para qualquer vetor \mathbf{A}. Portanto
\nabla\cdot\mathbf{B} =\nabla\cdot\bigl(\nabla\times(\nabla\times\mathbf{Y})\bigr) =0,
que é exatamente a lei de Gauss para o campo magnético.

Passo 3

Verificamos a lei de Faraday, \nabla\times\mathbf{E}=-\partial\mathbf{B}/\partial t.
Usando \mathbf{E}=-\nabla\times\partial\mathbf{Y}/\partial t, temos
\nabla\times\mathbf{E} =-\nabla\times\Bigl(\nabla\times\frac{\partial\mathbf{Y}}{\partial t}\Bigr) =-\frac{\partial}{\partial t}\bigl[\nabla\times(\nabla\times\mathbf{Y})\bigr] =-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}.

Passo 4

Agora derivamos a lei de Ampère–Maxwell com as correntes ligadas. Tomamos o rotacional de \mathbf{B}:
\nabla\times\mathbf{B} =\nabla\times\bigl(\nabla\times(\nabla\times\mathbf{Y})\bigr).
Usamos a identidade \nabla\times(\nabla\times\mathbf{A}) =\nabla(\nabla\cdot\mathbf{A})-\nabla^{2}\mathbf{A}.
Se assumirmos a condição de calibre \nabla\cdot\mathbf{Y}=0, isso dá
\nabla\times\mathbf{B} =-\nabla\times\bigl(\nabla^{2}\mathbf{Y}\bigr) =-\nabla^{2}\bigl(\nabla\times\mathbf{Y}\bigr).

Passo 5

Aplicamos a equação de onda para \mathbf{Y}, \nabla^{2}\mathbf{Y}=(1/c^{2})\partial^{2}\mathbf{Y}/\partial t^{2}-\mu_{0}\mathbf{M}.
Como curl e laplaciano comutam, obtemos
\nabla\times\mathbf{B} =-\frac{1}{c^{2}}\nabla\times\frac{\partial^{2}\mathbf{Y}}{\partial t^{2}} +\mu_{0}\,\nabla\times\mathbf{M}.
Mas \nabla\times\partial^{2}\mathbf{Y}/\partial t^{2} =\partial/\partial t\bigl(\nabla\times\partial\mathbf{Y}/\partial t\bigr).
E como \mathbf{E}=-\nabla\times\partial\mathbf{Y}/\partial t, temos
\nabla\times\mathbf{B} =\mu_{0}\,\nabla\times\mathbf{M} +\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} =\mu_{0}\,\mathbf{J}_{b} +\mu_{0}\,\epsilon_{0}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t},
já que c^{-2}=\mu_{0}\epsilon_{0} e \mathbf{J}_{b}=\nabla\times\mathbf{M}.
Isso é exatamente a lei de Ampère–Maxwell com correntes ligadas.

Passo 6

Finalmente, como \mathbf{E} foi definido como -\nabla\times(\partial\mathbf{Y}/\partial t), vale também \nabla\cdot\mathbf{E}=0, pois divergência de um rotacional é zero. Isso corresponde à lei de Gauss sem cargas livres.

Resposta

Mostramos que, a partir de
\nabla^{2}\mathbf{Y}-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\mathbf{Y}}{\partial t^{2}} =-\mu_{0}\mathbf{M}, \quad \mathbf{B}=\nabla\times\nabla\times\mathbf{Y}, \quad \mathbf{E}=-\nabla\times\frac{\partial\mathbf{Y}}{\partial t},
obtemos as quatro equações de Maxwell no meio dado:
  1. \nabla\cdot\mathbf{B}=0.
  2. \nabla\times\mathbf{E}=-\partial\mathbf{B}/\partial t.
  3. \nabla\cdot\mathbf{E}=0.
  4. \nabla\times\mathbf{B}=\mu_{0}\mathbf{J}_{b}+\mu_{0}\epsilon_{0}\partial\mathbf{E}/\partial t.

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