21 É dado um meio no qual \rho=0, \mathbf{J}=0, \epsilon=\epsilon_{0}, porém onde a magnetização \mathrm{M}(x, y, z, t) é uma ɪunçao dada. Demonstre que as equações de Maxwell são obtidas, corretamente, a partir de uma única função vetorial Y, onde Y satisfaz a equação
\nabla^{2} \mathbf{Y}-\frac{1}{c^{2}} \frac{\hat{c}^{2} \mathbf{Y}}{\hat{c} t^{2}}=-\mu_{0} \mathbf{M}
e onde
\mathbf{B}=\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{Y}, \quad \mathbf{E}=-\boldsymbol{\Gamma} \times \frac{\partial \mathbf{Y}}{\partial t} .

Passo 1

O enunciado considera um meio sem cargas livres \rho=0, \mathbf{J}=0 e com \epsilon=\epsilon_0, mas sujeito a uma magnetização dependente de (x,y,z,t), \mathbf{M}(x,y,z,t). Queremos mostrar que, se definirmos um potencial vetorial \mathbf{Y} que satisfaz
\nabla^2\mathbf{Y}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf{Y}}{\partial t^2}=-\mu_0\mathbf{M},
e fizermos
\mathbf{B}=\nabla\times\nabla\times\mathbf{Y}, \qquad \mathbf{E}=-\nabla\times\frac{\partial\mathbf{Y}}{\partial t},
então os campos \mathbf{E} e \mathbf{B} satisfazem automaticamente as quatro equações de Maxwell no meio:
  1. \nabla\cdot\mathbf{B}=0
  2. \nabla\times\mathbf{E}=-\partial_t\mathbf{B}
  3. \nabla\cdot\mathbf{D}=0 com \mathbf{D}=\epsilon_0\mathbf{E}
  4. \nabla\times\mathbf{H}=\partial_t\mathbf{D} com \mathbf{H}=\tfrac1{\mu_0}\mathbf{B}-\mathbf{M}.
Para isso usaremos as identidades vetoriais \nabla\cdot(\nabla\times\cdot)=0 e \nabla\times(\nabla\times\mathbf{A})=\nabla(\nabla\cdot\mathbf{A})-\nabla^2\mathbf{A},
além de escolher a condição de gauge \nabla\cdot\mathbf{Y}=0.

Passo 2

Prova das equações homogêneas:
  • Como \nabla\!\cdot\!(\nabla\times\cdot)=0,
\nabla\cdot\mathbf{B} =\nabla\cdot(\nabla\times\nabla\times\mathbf{Y}) =0.
  • Para Faraday,
\nabla\times\mathbf{E} =-\nabla\times\Bigl(\nabla\times\partial_t\mathbf{Y}\Bigr) =-\partial_t\bigl(\nabla\times\nabla\times\mathbf{Y}\bigr) =-\partial_t\mathbf{B}.

Passo 3

Lei de Gauss para \mathbf{E}:
\nabla\cdot\mathbf{D} =\epsilon_0\,\nabla\cdot\mathbf{E} =-\epsilon_0\,\nabla\cdot\bigl(\nabla\times\partial_t\mathbf{Y}\bigr) =0,
logo \nabla\cdot\mathbf{D}=0.

Passo 4

Cálculo de \nabla\times\mathbf{B} usando \nabla\cdot\mathbf{Y}=0:
\mathbf{B} =\nabla\times\nabla\times\mathbf{Y} =-\nabla^2\mathbf{Y},
então
\nabla\times\mathbf{B} =-\nabla\times(\nabla^2\mathbf{Y}) =-\nabla^2(\nabla\times\mathbf{Y}).
Da equação de onda para \mathbf{Y} segue
\nabla^2\mathbf{Y} =\frac{1}{c^2}\partial_t^2\mathbf{Y}-\mu_0\mathbf{M},
logo
\nabla^2(\nabla\times\mathbf{Y}) =\frac{1}{c^2}\partial_t^2(\nabla\times\mathbf{Y}) -\mu_0\nabla\times\mathbf{M},
e portanto
\nabla\times\mathbf{B} =-\frac{1}{c^2}\partial_t^2(\nabla\times\mathbf{Y}) +\mu_0\nabla\times\mathbf{M}.
Como \partial_t\mathbf{E} =-\nabla\times\partial_t^2\mathbf{Y}, temos
\nabla\times\mathbf{B} =\frac{1}{c^2}\partial_t\mathbf{E} +\mu_0\nabla\times\mathbf{M}.

Passo 5

Lei de Ampère–Maxwell sem correntes livres: com \mathbf{H}=\tfrac1{\mu_0}\mathbf{B}-\mathbf{M}, obtemos
\nabla\times\mathbf{H} =\frac{1}{\mu_0}\nabla\times\mathbf{B} -\nabla\times\mathbf{M} =\frac{1}{\mu_0}\Bigl(\frac{1}{c^2}\partial_t\mathbf{E}+\mu_0\nabla\times\mathbf{M}\Bigr) -\nabla\times\mathbf{M} =\frac{1}{c^2}\partial_t\mathbf{E} =\epsilon_0\partial_t\mathbf{E} =\partial_t\mathbf{D}.
Assim, todas as equações de Maxwell no meio com magnetização são satisfeitas.

Resposta

Os campos definidos por
\mathbf{B}=\nabla\times\nabla\times\mathbf{Y}, \quad \mathbf{E}=-\nabla\times\frac{\partial\mathbf{Y}}{\partial t},
onde \mathbf{Y} satisfaz
\nabla^2\mathbf{Y}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf{Y}}{\partial t^2}=-\mu_0\mathbf{M},
cumpriram as quatro equações de Maxwell no meio com \rho=0, \mathbf{J}=0, \epsilon=\epsilon_0 e magnetização \mathbf{M}.

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