21 É dado um meio no qual
, porém onde a magnetização
é uma ɪunçao dada. Demonstre que as equações de Maxwell são obtidas, corretamente, a partir de uma única função vetorial
, onde
satisfaz a equação
e onde
Passo 1
O enunciado considera um meio sem cargas livres
,
e com
, mas sujeito a uma magnetização dependente de
,
. Queremos mostrar que, se definirmos um potencial vetorial
que satisfaz
e fizermos
então os campos
e
satisfazem automaticamente as quatro equações de Maxwell no meio:
-
-
-
com -
com .
Para isso usaremos as identidades vetoriais
e
,
além de escolher a condição de gauge .
além de escolher a condição de gauge
Passo 2
Prova das equações homogêneas:
- Como
,
- Para Faraday,
Passo 3
Lei de Gauss para
:
logo
.
Passo 4
Cálculo de
usando
:
então
Da equação de onda para
segue
logo
e portanto
Como
, temos
Passo 5
Lei de Ampère–Maxwell sem correntes livres: com
, obtemos
Assim, todas as equações de Maxwell no meio com magnetização são satisfeitas.
Resposta
Os campos definidos por
onde
satisfaz
cumpriram as quatro equações de Maxwell no meio com
,
,
e magnetização
.