[19] Descreva as curvas de nível da cada função:
$f(x, y)=e^{-4 x{2}-y{2}}$

Passo 1

O enunciado pede para descrever as curvas de nível da função f(x,y)=e^-4x^2 - y^2. Esse é um problema de nível de funções de duas variáveis, onde vamos usar logaritmo natural para passar do formato exponencial para uma equação de cônicas.

Passo 2

Começamos fixando um valor de nível k>0 e igualando f(x,y)=k:
e^-4x^2 - y^2 = k

Passo 3

Aplicamos ln em ambos os lados para tirar a exponencial:
-4x^2 - y^2 = ,ln k

Passo 4

Reorganizando, obtemos a forma de elipse em função de k:
4x^2 + y^2 = -ln k

Passo 5

Observamos que para 0 temos -ln k>0, logo isso define elipses centradas na origem. Compare com a forma geral
x^2a^2 + y^2b^2 = 1 e identifique os semieixos:
a = raiz-ln k4 = raiz-ln k2, b = raiz-ln k

Passo 6

Interpretando: conforme k varia em (0,1), as elipses ficam maiores quando k diminui. Para k=1, temos -ln1=0 e a elipse degenera no ponto (0,0).

Resposta

As curvas de nível de f(x,y)=e^-4x^2 - y^2 para cada nível kin(0,1] são elipses centradas na origem com equação 4x^2 + y^2 = -ln k. Os semieixos valem a=raiz-ln k/2 no eixo x e b=raiz-ln k no eixo y. Para k=1, a elipse degenera no ponto (0,0).

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