[19] Descreva as curvas de nível da cada função:
$f(x, y)=e^{-4 x{2}-y{2}}$
$f(x, y)=e^{-4 x{2}-y{2}}$
Passo 1
O enunciado pede para descrever as curvas de nível da função
. Esse é um problema de nível de funções de duas variáveis, onde vamos usar logaritmo natural para passar do formato exponencial para uma equação de cônicas.
Passo 2
Começamos fixando um valor de nível
e igualando
:
Passo 3
Aplicamos ln em ambos os lados para tirar a exponencial:
Passo 4
Reorganizando, obtemos a forma de elipse em função de
:
Passo 5
Observamos que para
temos
, logo isso define elipses centradas na origem. Compare com a forma geral
Passo 6
Interpretando: conforme
varia em
, as elipses ficam maiores quando
diminui. Para
, temos
e a elipse degenera no ponto
.
Resposta
As curvas de nível de
para cada nível
são elipses centradas na origem com equação
. Os semieixos valem
no eixo
e
no eixo
. Para
, a elipse degenera no ponto (0,0).