Usando a Regra de L’Hospital, calcule .

Passo 1

O exercício pede o cálculo do limite
limxto01-cosl(x^2r)x^3
usando a regra de L’Hospital. Vamos precisar reconhecer que temos uma forma indeterminada 0/0 e aplicar a derivação de numerador e denominador.

Passo 2

Primeiro, verificamos a forma indeterminada: ao levar xto0, temos 1-cos(x^2)to0 e x^3to0. Aplicando L’Hospital uma vez, derivamos numerador e denominador:
num'(x)=ddxl(1-cos(x^2)r)=2xsin(x^2),
den'(x)=ddx(x^3)=3x^2
Logo o limite vira
limxto02xsin(x^2)3x^2=limxto02sin(x^2)3x

Passo 3

Ainda temos indeterminação 0/0, pois sin(x^2)to0 e 3xto0. Aplicamos L’Hospital de novo. Derivando:
ddxl(2sin(x^2)r)=4xcos(x^2),
ddx(3x)=3
O limite passa a ser
limxto04xcos(x^2)3

Passo 4

Agora ao fazer xto0, temos 4xcos(x^2)to0, logo o valor do limite é 0.

Resposta

0

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