2.19 Determine a perda de carga em um conduto retangular de seção 0,50 \mathrm{~m} \times 0,20 \mathrm{~m}, de aço comercial novo, \varepsilon=0,045 \mathrm{~mm}, com 620 m de comprimento, transportando 110 \mathrm{l} / \mathrm{s} de água. Viscosidade cinemática da água v=10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}.
[\Delta \mathrm{H}=2,12 \mathrm{~m}]

Passo 1

O que o problema pede: determinar a perda de carga (expressa em altura, \Delta H) num conduto retangular com os dados fornecidos.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
\begin{aligned} &\text{seção do conduto: } 0{,}50\\ \mathrm{m} \times 0{,}20\\ \mathrm{m},\\\ &\varepsilon = 0{,}045\\ \mathrm{mm} = 0{,}000045\\ \mathrm{m}\\ (\text{rugosidade absoluta do aço}),\\\ &L = 620\\ \mathrm{m},\\\ &Q = 110\\ \mathrm{l/s} = 0{,}11\\ \mathrm{m^3/s},\\\ &\nu = 10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}\\ (\text{viscosidade cinemática da água}). \end{aligned}çãçáá
Resposta esperada mostrada no enunciado: [\Delta H = 2{,}12\\ \mathrm{m}].
No Passo 2 em diante eu vou calcular passo a passo tudo que é necessário para chegar em \Delta H.

Passo 2

Cálculo da área da seção e do perímetro molhado (necessários para o diâmetro hidráulico). Fórmulas usadas e explicação rápida:
  • Área da seção: A = \text{largura}\times\text{altura}.
  • Perímetro molhado: P = 2(\text{largura}+\text{altura}).
    Aplicando:
A = 0{,}50\cdot 0{,}20 = 0{,}10\\ \mathrm{m^2},
P = 2(0{,}50+0{,}20) = 2(0{,}70) = 1{,}40\\ \mathrm{m}.
Explicação didática: a área é óbvia; o perímetro molhado é a soma dos lados em contato com a água (todos os quatro lados do retângulo).

Passo 3

Cálculo do diâmetro hidráulico (D_h). Para seções não circulares usa-se:
D_h = \frac{4A}{P}.
Substituindo:
D_h = \frac{4\cdot 0{,}10}{1{,}40} = \frac{0{,}40}{1{,}40} = 0{,}285714\\ \mathrm{m}\\ (\approx 0{,}2857\\ \mathrm{m}).
Explicação: o diâmetro hidráulico é uma medida que permite usar fórmulas desenvolvidas para tubos circulares em condutos de outras formas, através da razão área/perímetro.

Passo 4

Cálculo da velocidade média V. Fórmula:
V = \frac{Q}{A}.
Substituindo:
V = \frac{0{,}11}{0{,}10} = 1{,}1\\ \mathrm{m/s}.
Comentário: saber V é essencial para calcular o número de Reynolds e a perda de carga por Darcy–Weisbach.

Passo 5

Cálculo do número de Reynolds (Re) para classificar o escoamento (laminar/turbulento) e para usar nas fórmulas de atrito. Fórmula:
Re = \frac{V D_h}{\nu}.
Substituindo:
Re = \frac{1{,}1\cdot 0{,}285714}{10^{-6}} = \frac{0{,}3142854}{10^{-6}} = 314285{,}7 \approx 3{,}14\times 10^{5}.
Explicação: como Re\gg 4000, o escoamento é turbulento, e o fator de atrito depende de \varepsilon/D_h e de Re (relacionamento implícito via equação de Colebrook).

Passo 6

Definição do fator de atrito f e método de obtenção. Usamos a equação de Colebrook (implícita):
\frac{1}{\sqrt{f}} = -2\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D_h} + \frac{2{,}51}{Re\sqrt{f}}\right).
Explicação: essa equação relaciona f, rugosidade relativa \varepsilon/D_h e Re. Como é implícita em f, resolve-se por iteração. Para acelerar, primeiro obtenho uma estimativa inicial com a fórmula de Haaland (explícita e bastante precisa):
\frac{1}{\sqrt{f}} = -1{,}8\log_{10}\!\left[\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D_h}\right)^{1{,}11}+\frac{6{,}9}{Re}\right].

Passo 7

Cálculo da estimativa inicial de f usando Haaland e depois iterações da Colebrook para convergência.
Primeiro calcule \varepsilon/D_h:
\frac{\varepsilon}{D_h} = \frac{0{,}000045}{0{,}285714} = 0{,}0001575\\ (\text{aprox.}).
Agora a Haaland:
\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D_h}\right) = \frac{0{,}0001575}{3{,}7} = 4{,}2568\times 10^{-5}.
\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D_h}\right)^{1{,}11}\approx 1{,}41\times 10^{-5}, \qquad \frac{6{,}9}{Re} = \frac{6{,}9}{314285{,}7} \approx 2{,}197\times 10^{-5}.
Somando e aplicando Haaland:
\frac{1}{\sqrt{f}} \approx -1{,}8\log_{10}\left(1{,}41\times 10^{-5}+2{,}197\times 10^{-5}\right) \approx 7{,}9974,
logo
\sqrt{f}\approx 0{,}12503,\qquad f_{\text{Haaland}}\approx 0{,}01563.
Agora uso essa estimativa para iniciar iteração na equação de Colebrook. Iteração 1 (substituindo \sqrt{f}=0{,}12503 no termo direito da Colebrook):
\text{termo}_1=\frac{\varepsilon}{3{,}7D_h}=4{,}2568\times 10^{-5},
\text{termo}_2=\frac{2{,}51}{Re\sqrt{f}}=\frac{2{,}51}{314285{,}7\cdot 0{,}12503}\approx 6{,}391\times 10^{-5},
\frac{1}{\sqrt{f}} = -2\log_{10}\left(4{,}2568\times 10^{-5}+6{,}391\times 10^{-5}\right)\approx 7{,}9446,
\sqrt{f}\approx 0{,}12586,\qquad f\approx 0{,}01584.
Iteração 2 (usar \sqrt{f}=0{,}12586):
\text{termo}_2=\frac{2{,}51}{314285{,}7\cdot 0{,}12586}\approx 6{,}352\times 10^{-5},
\frac{1}{\sqrt{f}} = -2\log_{10}\left(4{,}2568\times 10^{-5}+6{,}352\times 10^{-5}\right)\approx 7{,}949,
\sqrt{f}\approx 0{,}12574,\qquad f\approx 0{,}01581.
A convergência é rápida; tomo
f = 0{,}01581\\ (\text{valor final usado}).
Comentário: essa é a forma correta e padrão de obter f em escoamentos turbulentos em condutos rugosos.

Passo 8

Cálculo da perda de carga \Delta H usando a fórmula de Darcy–Weisbach e explicando cada termo:
\Delta H = f\cdot\frac{L}{D_h}\cdot\frac{V^2}{2g},
onde g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}. Já temos f, L, D_h, V. Calculemos em partes:
\frac{L}{D_h} = \frac{620}{0{,}285714} = 2170,
\frac{V^2}{2g} = \frac{(1{,}1)^2}{2\cdot 9{,}81} = \frac{1{,}21}{19{,}62} \approx 0{,}061699\\ \mathrm{m}.
Agora \Delta H:
\Delta H = 0{,}01581 \cdot 2170 \cdot 0{,}061699 \approx 2{,}1168\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma compatível com o enunciado, \Delta H \approx 2{,}12\\ \mathrm{m}.

Passo 9

Verificação rápida e conclusão: os valores intermediários (velocidade, Re, D_h, f) são consistentes com um escoamento turbulento em conduto relativamente liso (rugosidade pequena frente ao diâmetro). O fator de atrito calculado por Colebrook (aprox. 0{,}0158) leva à perda de carga calculada e bate com o resultado fornecido no enunciado.

Resposta

\Delta H = 2{,}12\\ \mathrm{m}

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