Em uma tubulação horizontal de diâmetro igual a 150 mm , de ferro fundido em uso com cimento centrifugado, foi instalada em uma seção A, um piezômetro e o nível d’água alcançou a altura de 4,20 \mathrm{~m}. Em uma seção B, à jusante de A , o nível d’água em outro piezômetro alcançou a altura de 2,40 \mathrm{~m}. Determine:
a) O fator de atrito do escoamento (ao preencher o formulário Google multiplicar por 100); (valor: 0,5)
b) A vazão transportada, em L/s; (valor: 0,5)

Passo 1

O enunciado (como você me enviou) fornece as seguintes informações relevantes:
  • Diâmetro da tubulação: \,D=150\\ \text{mm}=0{,}150\\ \text{m}.
  • A tubulação é horizontal.
  • Piezômetro em A: nível \,4{,}20\\ \text{m}.
  • Piezômetro em B (jusante): nível \,2{,}40\\ \text{m}.
  • Material da tubulação: ferro fundido em uso com cimento centrifugado (isto indica o tipo de revestimento/rugosidade, mas o enunciado não informa explicitamente o valor numérico da rugosidade absoluta \,k).
Informação obtida dos dados acima: diferença de carga piezométrica entre A e B
h_f = 4{,}20 - 2{,}40 = 1{,}80\\ \text{m}.
Dados que NÃO foram fornecidos e são necessários para obter respostas numéricas:
  • A distância (comprimento) entre as seções A e B, L. Sem L não é possível relacionar perda de carga total com a perda por unidade de comprimento.
  • O valor numérico da rugosidade absoluta \,k do tubo (se queremos determinar o fator de atrito f a partir de Colebrook/Swamee–Jain).
    Como não foi enviada figura nem estes dados, não há informação suficiente para calcular numericamente f nem Q.

Passo 2

Conceito físico e simplificação: por que h_f=1{,}80\\ \text{m} é a perda por atrito entre A e B.
Explicação didática: a equação de Bernoulli (energia por unidade de peso) entre duas seções de uma tubulação horizontal uniforme, com mesma velocidade em A e B (mesma tubulação, mesma vazão), reduz-se a
h_A - h_B = h_f,
onde h_A e h_B são as cargas piezométricas nos piezômetros e h_f é a perda de carga por atrito entre A e B. Isso ocorre porque a energia de velocidade \frac{V^2}{2g} é a mesma nas duas seções e se cancela. Usamos esse princípio para obter h_f como fizemos no Passo 1.

Passo 3

Fórmula que relaciona perda de carga por atrito com velocidade — Darcy–Weisbach.
A equação de Darcy–Weisbach diz:
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g},
onde:
  • \,h_f é a perda de carga total entre A e B (m);
  • \,f é o fator de atrito de Darcy (adimensional);
  • \,L é o comprimento entre A e B (m) — ESTE DADO NÃO FOI FORNECIDO;
  • \,D é o diâmetro interno da tubulação (m) — temos \,D=0{,}150\\ \text{m};
  • \,V é a velocidade média do fluido na tubulação (m/s);
  • \,g é a aceleração da gravidade (uso padrão \,g=9{,}81\\ \text{m/s}^2).
Explicação: essa fórmula é central para escoamento interno em condutas e será a base para calcular f ou Q.

Passo 4

Expressar a vazão Q em função de f e L.
Área da seção:
A = \frac{\pi D^2}{4}.
Relação entre vazão e velocidade:
V = \frac{Q}{A}.
Substituindo V na Darcy–Weisbach e resolvendo para Q obtemos (passo a passo):
  1. Da Darcy–Weisbach:
V^2 = \frac{2gD h_f}{f L}.
  1. Assim
V = \sqrt{\frac{2gD h_f}{f L}}.
  1. E, portanto, a vazão:
Q = A V = \frac{\pi D^2}{4}\,\sqrt{\frac{2gD h_f}{f L}}.
Comentário: essa expressão mostra que, para obter Q numericamente, precisamos de f e L. Sem L (e sem f) não dá para calcular Q.

Passo 5

Como determinar o fator de atrito f: Colebrook e aproximações explícitas.
O fator f depende da rugosidade relativa k/D e do número de Reynolds \mathrm{Re}. As relações mais usadas são:
  • Número de Reynolds:
\mathrm{Re} = \frac{V D}{\nu},
onde \nu é a viscosidade cinemática da água ( \nu\approx 1{,}0\times10^{-6}\\ \text{m}^2/\text{s} a 20^\circC; se a temperatura for outra, deve usar o valor correspondente).
  • Equação implícita de Colebrook (necessita iteração):
\frac{1}{\sqrt{f}} = -2{,}0\log_{10}\!\left(\frac{k}{3{,}7D} + \frac{2{,}51}{\mathrm{Re}\,\sqrt{f}}\right).
  • Fórmula explícita de Swamee–Jain (boa aproximação prática, evita iteração):
f = 0{,}25\left[\log_{10}\!\left(\frac{k}{3{,}7D} + \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^{-2}.
Explicação didática: para usar qualquer uma dessas é necessário conhecer k (rugosidade absoluta do tubo) e \nu (para Re). A partir de um palpite inicial de f pode-se iterar com Colebrook: calcular V → Re → nova estimativa de f → recalcular V → etc., até convergir.

Passo 6

Procedimento prático passo-a-passo (o que você faria na prova / treino) para obter f e Q quando todos os dados estiverem disponíveis:
  1. Calcule h_f = h_A - h_B.
  2. Tenha L e D e calcule a área A=\pi D^2/4.
  3. Escolha um palpite inicial para f, por exemplo f_0=0{,}02.
  4. Calcule V = \sqrt{\dfrac{2gD h_f}{f_0 L}} (da Darcy–Weisbach invertida).
  5. Calcule \mathrm{Re} = V D/\nu.
  6. Calcule um novo f_1 usando Swamee–Jain (fórmula explícita) ou a solução iterativa da Colebrook.
  7. Compare f_1 com f_0. Se a diferença for maior que o critério de tolerância (por ex. 1%), repita a partir do passo 4 com f_0 \leftarrow f_1.
  8. Quando f convergir, calcule Q = A V com a velocidade correspondente.
  9. Converta Q para L/s: 1\\ \text{m}^3/\text{s} = 1000\\ \text{L/s}.
Dica prática: usando Swamee–Jain você evita muitas iterações e converge bem para a maioria dos casos.

Passo 7

Sobre a rugosidade \,k para “ferro fundido em uso com cimento centrifugado” e observações finais.
  • Eu não tenho o valor numérico de \,k no enunciado que você enviou. Tabelas de hidráulica dão valores típicos para materiais, mas eles variam com o estado da tubulação (nova, antiga, revestida). Por exemplo, valores típicos (apenas para referência) são da ordem de 10^{-4} a 10^{-3}\\ \text{m} para vários materiais; mas NÃO devo inventar qual é o valor certo para o seu caso de “ferro fundido com cimento centrifugado” sem a tabela ou figura do enunciado.
  • Como o enunciado que você me passou não inclui L nem o valor de \,k (ou uma figura onde isso apareça), não é possível produzir os valores numéricos do fator de atrito f nem da vazão Q. Inventar L ou k seria arriscado e pode levar a resposta errada na sua prova.
Se você quiser que eu faça o cálculo completo e mostre iterações numéricas, me envie (ou utilize) estes dois dados que faltam:
  • comprimento entre A e B: \,L (em metros);
  • rugosidade absoluta do tubo: \,k (em metros) — ou indique uma tabela/valor que seu professor forneceu;
    opcionalmente informe a temperatura da água (para \nu), caso seja diferente de 20^\circC.

Resposta

Não é possível determinar numericamente o fator de atrito f nem a vazão Q porque o enunciado recebido não fornece o comprimento entre A e B ( L) — e também não especifica o valor da rugosidade absoluta \,k necessária para obter f.

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