Uma solução de cloretos com concentração de 200 \mathrm{ppm}^{*} foi injetada com vazão constante e igual a 3,0 \mathrm{l} / \mathrm{s}, num rio que já tinha uma concentração de 20 ppm . Sabendo-se que medidas efetuadas à jusante mostraram que houve uma estabilização do valor da concentração de cloretos no rio em 25 ppm ( ppm = parte por milhẵo). Pede-se:
a) A vazão do rio \mathrm{em}\left(\mathrm{m}^{3} / \mathrm{s}\right);
b) Qual é o erro que seria cometido caso fosse desprezada a concentração inicial?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Calcular a vazão do rio em \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
  2. (b) Determinar o erro cometido caso se desprezasse a concentração inicial do rio.
Dados fornecidos (vou listar exatamente o que temos):
  • Concentração da solução injetada: \,C_{\text{inj}}=200\\ \text{ppm}.
  • Vazão da solução injetada: \,q_{\text{inj}}=3{,}0\\ \mathrm{L/s}.
  • Concentração inicial do rio (a montante): \,C_{r}=20\\ \text{ppm}.
  • Concentração estabilizada a jusante (após mistura): \,C_{\text{out}}=25\\ \text{ppm}.
Observações sobre unidades (apenas listando, sem resolver ainda):
  • \text{ppm} é “parte por milhão”; para soluções aquosas, podemos tratar as concentrações numéricas em ppm como iguais a mg/L, desde que usados de forma consistente em cálculo de balanço de massa.
  • A vazão pedida é em \mathrm{m}^3/\mathrm{s}, então vou converter \mathrm{L/s} para \mathrm{m}^3/\mathrm{s} quando necessário.

Passo 2

Ideia física e fórmula básica (aula rápida de balanço de massa):
  • Em regime estacionário (concentração estabilizada), a massa de cloretos que entra por unidade de tempo deve ser igual à massa que sai por unidade de tempo.
  • Massa por unidade de tempo = concentração × vazão (desde que ambas as grandezas estejam em unidades compatíveis).
  • Vamos definir as variáveis claramente: \begin{aligned} &C_{\text{inj}}=\text{concentração da injeção (ppm)},\\\ &q_{\text{inj}}=\text{vazão da injeção (mesma unidade de vazão que o rio)},\\\ &C_{r}=\text{concentração inicial do rio (ppm)},\\\ &Q=\text{vazão do rio (procura-se isto)},\\\ &C_{\text{out}}=\text{concentração após mistura (ppm)}. \end{aligned}çãçããçããçããçãó
  • O balanço de massa em regime permanente escreve-se: C_{\text{inj}}\,q_{\text{inj}} + C_{r}\,Q = C_{\text{out}}\,(Q + q_{\text{inj}}).Explicando: soma das massas que entram (injeção + rio) = massa que sai (fluxo total Q+q_{\text{inj}} com concentração C_{\text{out}}).

Passo 3

Resolver algebricamente a equação para Q:
  • Partindo de C_{\text{inj}}\,q_{\text{inj}} + C_{r}\,Q = C_{\text{out}}\,Q + C_{\text{out}}\,q_{\text{inj}},passo os termos com Q para um lado: C_{r}\,Q - C_{\text{out}}\,Q = C_{\text{out}}\,q_{\text{inj}} - C_{\text{inj}}\,q_{\text{inj}}.
  • Fatorando Q no lado esquerdo: Q\,(C_{r} - C_{\text{out}}) = q_{\text{inj}}\,(C_{\text{out}} - C_{\text{inj}}).Observação: o sinal do lado direito fica (C_{\text{out}}-C_{\text{inj}}) porque passei C_{\text{inj}}q_{\text{inj}} para o outro lado.
  • Finalmente isolamos Q: Q = q_{\text{inj}}\cdot\frac{C_{\text{out}} - C_{\text{inj}}}{C_{r} - C_{\text{out}}}.Importante: como todas as C estão em ppm (mesma unidade), a fração é adimensional e podemos usar os números diretamente.

Passo 4

Cálculo numérico para a vazão do rio:
  • Primeiro, uso os valores numéricos em ppm: C_{\text{inj}}=200,\quad C_{r}=20,\quad C_{\text{out}}=25.
  • Calculo a razão: \frac{C_{\text{out}} - C_{\text{inj}}}{C_{r} - C_{\text{out}}} = \frac{25 - 200}{20 - 25} = \frac{-175}{-5} = 35.
  • Portanto Q = q_{\text{inj}}\times 35.
  • Como q_{\text{inj}}=3{,}0\\ \mathrm{L/s}, temos em \mathrm{L/s}: Q = 3{,}0\cdot 35 = 105\\ \mathrm{L/s}.
  • Converter para \mathrm{m}^3/\mathrm{s}: 1\\ \mathrm{L} = 10^{-3}\\ \mathrm{m}^3, logo Q = 105\\ \mathrm{L/s} = 105\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s} = 0{,}105\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.

Passo 5

Cálculo do erro se desprezarmos a concentração inicial ( C_{r}=0):
  • Reaplico a fórmula com C_{r}=0: Q_{\text{(desprezando)}} = q_{\text{inj}}\cdot\frac{C_{\text{out}} - C_{\text{inj}}}{0 - C_{\text{out}}} = q_{\text{inj}}\cdot\frac{25 - 200}{-25} = q_{\text{inj}}\cdot\frac{-175}{-25} = q_{\text{inj}}\cdot 7.
  • Com q_{\text{inj}}=3{,}0\\ \mathrm{L/s}: Q_{\text{(desprezando)}} = 3{,}0\cdot 7 = 21\\ \mathrm{L/s} = 0{,}021\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
  • Agora o erro absoluto (diferença entre valor correto e valor assumido) é: \Delta Q = |0{,}105 - 0{,}021| = 0{,}084\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
  • O erro relativo percentual (erro em percentagem do valor correto) é: \frac{\Delta Q}{Q}\times 100\% = \frac{0{,}084}{0{,}105}\times 100\% = 80\%.Portanto desprezar a concentração inicial levaria a subestimar a vazão do rio em 0{,}084\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}, ou em 80\% do valor real.

Resposta

a) Q=0{,}105\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
b) Erro absoluto =0{,}084\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}; erro relativo =80\%.

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