Uma solução de cloretos com concentração de
foi injetada com vazão constante e igual a
, num rio que já tinha uma concentração de 20 ppm . Sabendo-se que medidas efetuadas à jusante mostraram que houve uma estabilização do valor da concentração de cloretos no rio em 25 ppm ( ppm = parte por milhẵo). Pede-se:
a) A vazão do rio
;
b) Qual é o erro que seria cometido caso fosse desprezada a concentração inicial?
a) A vazão do rio
b) Qual é o erro que seria cometido caso fosse desprezada a concentração inicial?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Calcular a vazão do rio em
. - (b) Determinar o erro cometido caso se desprezasse a concentração inicial do rio.
Dados fornecidos (vou listar exatamente o que temos):
- Concentração da solução injetada:
. - Vazão da solução injetada:
. - Concentração inicial do rio (a montante):
. - Concentração estabilizada a jusante (após mistura):
.
Observações sobre unidades (apenas listando, sem resolver ainda):
-
é “parte por milhão”; para soluções aquosas, podemos tratar as concentrações numéricas em ppm como iguais a mg/L, desde que usados de forma consistente em cálculo de balanço de massa. - A vazão pedida é em
, então vou converter para quando necessário.
Passo 2
Ideia física e fórmula básica (aula rápida de balanço de massa):
- Em regime estacionário (concentração estabilizada), a massa de cloretos que entra por unidade de tempo deve ser igual à massa que sai por unidade de tempo.
- Massa por unidade de tempo = concentração × vazão (desde que ambas as grandezas estejam em unidades compatíveis).
- Vamos definir as variáveis claramente:
- O balanço de massa em regime permanente escreve-se:
Explicando: soma das massas que entram (injeção + rio) = massa que sai (fluxo total com concentração ).
Passo 3
Resolver algebricamente a equação para
:
- Partindo de
passo os termos com para um lado: - Fatorando
no lado esquerdo: Observação: o sinal do lado direito fica porque passei para o outro lado. - Finalmente isolamos
: Importante: como todas as estão em ppm (mesma unidade), a fração é adimensional e podemos usar os números diretamente.
Passo 4
Cálculo numérico para a vazão do rio:
- Primeiro, uso os valores numéricos em ppm:
- Calculo a razão:
- Portanto
. - Como
, temos em : - Converter para
: , logo
Passo 5
Cálculo do erro se desprezarmos a concentração inicial (
):
- Reaplico a fórmula com
: - Com
: - Agora o erro absoluto (diferença entre valor correto e valor assumido) é:
- O erro relativo percentual (erro em percentagem do valor correto) é:
Portanto desprezar a concentração inicial levaria a subestimar a vazão do rio em , ou em do valor real.
Resposta
a)
b) Erro absoluto
; erro relativo
.