O escoamento de água como conduto forçado é feito através de uma tubulação de 4 pol de diâmetro, em aço soldado revestido de cimento centrifugado, no sentido do ponto A para o ponto B. Sendo
a tensão média de cisalhamento, determine:
a) A pressão disponível no ponto B , em kPa ; (valor:
)
b) O fator de atrito (ao preencher o formulário multiplique por
); (valor:
)
c) A vazão volumétrica, em L/s. (valor: 1/3)
Considere os seguintes dados:
i. Tensão média de cisalhamento, em
ii. Outros dados:
;
iii. Use a Equação Universal;
iv. Considere
;
v. Viscosidade cinemática da água,
;
vi. Massa específica da água,
;
vii. Aceleração da gravidade,
;
viii. Despreze perdas de carga localizadas.
a) A pressão disponível no ponto B , em kPa ; (valor:
b) O fator de atrito (ao preencher o formulário multiplique por
c) A vazão volumétrica, em L/s. (valor: 1/3)
i. Tensão média de cisalhamento, em
ii. Outros dados:
iii. Use a Equação Universal;
iv. Considere
v. Viscosidade cinemática da água,
vi. Massa específica da água,
vii. Aceleração da gravidade,
viii. Despreze perdas de carga localizadas.
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
Dados fornecidos e conversões iniciais (tudo que vamos usar):
Observação: o enunciado indica usar a “Equação Universal” (a forma universal de Prandtl/Nikuradse para tubos lisos), que relaciona fator de atrito
e número de Reynolds
. Vou usar essa equação para obter a velocidade média e, a partir dela,
e a vazão.
Passo 2
Relacionando tensão de cisalhamento média na parede com perda de pressão ao longo do tubo.
Para escoamento totalmente desenvolvido em um tubo cilíndrico, o equilíbrio de forças numa seção elementar dá a relação entre queda de pressão
ao longo do comprimento
e a tensão de cisalhamento na parede
:
Aqui
é a perda de pressão total ao longo da tubulação (de A para B),
é o raio do tubo e
é a tensão de cisalhamento na parede. Nesta questão vamos tomar
(tensão média dada).
Passo 3
Calcular numericamente a perda de pressão
usando a fórmula do passo anterior.
Substituindo:
A perda de carga em termos de altura (head loss) é
Calculando:
Passo 4
Usar Bernoulli (forma energética) entre A e B, desprezando perdas localizadas e com velocidades iguais (mesmo diâmetro): a equação reduz-se a
Isolando
:
Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro o termo de elevação:
O termo
é simplesmente
calculado antes, isto é
. Então
Convertendo para kPa:
Passo 5
Agora vamos ao fator de atrito e à vazão. Primeiro a relação entre tensão de cisalhamento e velocidade média: para escoamento em tubo circular é válida
onde
é o fator de atrito de Darcy-Weisbach (adiensional) e
é a velocidade média do fluido. Essa fórmula vem da definição do fator de atrito em termos da perda de carga e da relação entre perda de carga e tensão na parede.
Também definimos o número de Reynolds:
A “Equação Universal” (forma de Prandtl para tubos lisos) que relaciona
e
é:
Temos duas equações (a da tensão e a universal) e duas incógnitas
e
. Vou combinar as equações para resolver.
Passo 6
Eliminação algébrica: Defina
. Da relação
obtemos
Da equação universal:
Mas
Substituindo isso,
Agora observe que
é proporcional a
(pela expressão
), portanto
cancela no argumento do log quando fizermos a substituição — isso simplifica e permite resolver explicitamente para
.
Passo 7
Calcule a constante de proporcionalidade. Primeiro
Assim
Substituindo em
:
Note que o
cancelou como previsto. Agora a equação universal vira uma equação numérica para
:
Calcule o lado direito:
Logo
Voltando para
:
Passo 8
Calcular o fator de atrito
usando
. Rearranjando:
Calculando numericamente:
Como o enunciado pede que, ao preencher o formulário, multipliquemos por
, fornecemos
:
Passo 9
Calcular o número de Reynolds (verificação da hipótese turbulenta):
Como
, o escoamento é turbulento, portanto o uso da equação universal (forma de Prandtl para turbulência em tubos lisos) é consistente.
Passo 10
Calcular a vazão volumétrica
. Área da seção:
Portanto
Convertendo para L/s:
Resposta
(a)
\n
(b) (isto é,
)\n
(c)
(b)
(c)