O escoamento de água como conduto forçado é feito através de uma tubulação de 4 pol de diâmetro, em aço soldado revestido de cimento centrifugado, no sentido do ponto A para o ponto B. Sendo \tau_{\mathrm{o}} a tensão média de cisalhamento, determine:
a) A pressão disponível no ponto B , em kPa ; (valor: 1 / 3 )
b) O fator de atrito (ao preencher o formulário multiplique por 10^{2} ); (valor: 1 / 3 )
c) A vazão volumétrica, em L/s. (valor: 1/3)
Considere os seguintes dados:
i. Tensão média de cisalhamento, em \mathrm{Pa}=6,8
ii. Outros dados: \mathrm{L}=250 \mathrm{~m}, \mathrm{Z}_{\mathrm{A}}=813,25 \mathrm{~m}, \mathrm{Z}_{\mathrm{B}}=830,04 \mathrm{~m}, \mathrm{P}_{\mathrm{A}}=362,60 \mathrm{kPa};
iii. Use a Equação Universal;
iv. Considere 1 \mathrm{pol}=25 \mathrm{~mm};
v. Viscosidade cinemática da água, v=10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s};
vi. Massa específica da água, \rho=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3};
vii. Aceleração da gravidade, g=9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2};
viii. Despreze perdas de carga localizadas.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
\text{(a) a pressão no ponto B (em kPa),}ã
\text{(b) o fator de atrito (quando preencher o formulário multiplique por }10^{2}\text{),}á
\text{\text{(c)} a vazão volumétrica (em L/s).}ãé
Dados fornecidos e conversões iniciais (tudo que vamos usar):
\tau_{\mathrm{o}}=6{,}8\\ \text{Pa},
L=250\\ \text{m},\quad Z_{A}=813{,}25\\ \text{m},\quad Z_{B}=830{,}04\\ \text{m},
P_{A}=362{,}60\\ \text{kPa}=362600\\ \text{Pa},
1\\ \text{pol}=25\\ \text{mm}\Rightarrow D=4\\ \text{pol}=4\cdot25\\ \text{mm}=100\\ \text{mm}=0{,}10\\ \text{m},
R=\frac{D}{2}=0{,}05\\ \text{m},
\nu=10^{-6}\\ \text{m}^2/\text{s},\quad \rho=1000\\ \text{kg}/\text{m}^3,\quad g=9{,}81\\ \text{m}/\text{s}^2.
Observação: o enunciado indica usar a “Equação Universal” (a forma universal de Prandtl/Nikuradse para tubos lisos), que relaciona fator de atrito f e número de Reynolds \mathrm{Re}. Vou usar essa equação para obter a velocidade média e, a partir dela, f e a vazão.

Passo 2

Relacionando tensão de cisalhamento média na parede com perda de pressão ao longo do tubo.
Para escoamento totalmente desenvolvido em um tubo cilíndrico, o equilíbrio de forças numa seção elementar dá a relação entre queda de pressão \Delta p ao longo do comprimento L e a tensão de cisalhamento na parede \tau_w:
\Delta p = \frac{2\,\tau_w\,L}{R}.
Aqui \Delta p = p_A - p_B é a perda de pressão total ao longo da tubulação (de A para B), R é o raio do tubo e \tau_w é a tensão de cisalhamento na parede. Nesta questão vamos tomar \tau_w=\tau_{\mathrm{o}}=6{,}8\\ \text{Pa} (tensão média dada).

Passo 3

Calcular numericamente a perda de pressão \Delta p usando a fórmula do passo anterior.
Substituindo:
\Delta p = \frac{2\cdot 6{,}8\cdot 250}{0{,}05} = \frac{3400}{0{,}05}=68000\\ \text{Pa}.
A perda de carga em termos de altura (head loss) é
h_f=\frac{\Delta p}{\rho g}=\frac{68000}{1000\cdot 9{,}81}\\ \text{m}.
Calculando:
h_f\approx \frac{68000}{9810}\approx 6{,}934\\ \text{m}.

Passo 4

Usar Bernoulli (forma energética) entre A e B, desprezando perdas localizadas e com velocidades iguais (mesmo diâmetro): a equação reduz-se a
\frac{P_A}{\rho g}+Z_A=\frac{P_B}{\rho g}+Z_B+h_f.
Isolando P_B:
P_B = P_A + \rho g (Z_A - Z_B) - \rho g\,h_f.
Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro o termo de elevação:
\rho g (Z_A-Z_B)=1000\cdot 9{,}81\cdot(813{,}25-830{,}04)=1000\cdot 9{,}81\cdot(-16{,}79).
\rho g (Z_A-Z_B)\approx -164655{,}9\\ \text{Pa}.
O termo \rho g h_f é simplesmente \Delta p calculado antes, isto é 68000\\ \text{Pa}. Então
P_B = 362600 -164655{,}9 -68000\\ \text{(Pa)}.
P_B \approx 129944{,}1\\ \text{Pa}.
Convertendo para kPa:
P_B \approx 129{,}94\\ \text{kPa}.

Passo 5

Agora vamos ao fator de atrito e à vazão. Primeiro a relação entre tensão de cisalhamento e velocidade média: para escoamento em tubo circular é válida
\tau_w = \frac{f\,\rho\,V^2}{8},
onde f é o fator de atrito de Darcy-Weisbach (adiensional) e V é a velocidade média do fluido. Essa fórmula vem da definição do fator de atrito em termos da perda de carga e da relação entre perda de carga e tensão na parede.
Também definimos o número de Reynolds:
\mathrm{Re}=\frac{V D}{\nu}.
A “Equação Universal” (forma de Prandtl para tubos lisos) que relaciona f e \mathrm{Re} é:
\frac{1}{\sqrt{f}}=2\log_{10}\!\big(\mathrm{Re}\sqrt{f}\big)-0{,}8.
Temos duas equações (a da tensão e a universal) e duas incógnitas f e V. Vou combinar as equações para resolver.

Passo 6

Eliminação algébrica: Defina X=\dfrac{1}{\sqrt{f}}. Da relação \tau_w=\dfrac{f\rho V^2}{8} obtemos
f=\frac{8\tau_w}{\rho V^2}\quad\Rightarrow\quad X=\sqrt{\frac{\rho V^2}{8\tau_w}}=\;V\sqrt{\frac{\rho}{8\tau_w}}.
Da equação universal:
X=2\log_{10}\!\big(\mathrm{Re}\sqrt{f}\big)-0{,}8.
Mas \mathrm{Re}\sqrt{f}=\dfrac{V D}{\nu}\cdot\frac{1}{X}=\dfrac{V D}{\nu X}. Substituindo isso,
X=2\log_{10}\!\left(\frac{V D}{\nu X}\right)-0{,}8.
Agora observe que X é proporcional a V (pela expressão X=V\sqrt{\rho/(8\tau_w)}), portanto V cancela no argumento do log quando fizermos a substituição — isso simplifica e permite resolver explicitamente para X.

Passo 7

Calcule a constante de proporcionalidade. Primeiro
\sqrt{\frac{\rho}{8\tau_w}}=\sqrt{\frac{1000}{8\cdot 6{,}8}}=\sqrt{\frac{1000}{54{,}4}}\approx 4{,}288336.
Assim
X=4{,}288336\;V.
Substituindo em \dfrac{V D}{\nu X}:
\frac{V D}{\nu X}=\frac{V\cdot 0{,}1}{10^{-6}\cdot 4{,}288336\,V}=\frac{0{,}1}{4{,}288336\times 10^{-6}}\approx 23314{,}7.
Note que o V cancelou como previsto. Agora a equação universal vira uma equação numérica para X:
X=2\log_{10}(23314{,}7)-0{,}8.
Calcule o lado direito:
\log_{10}(23314{,}7)\approx 4{,}36786\quad\Rightarrow\quad 2\cdot 4{,}36786 -0{,}8 \approx 7{,}93572.
Logo
X\approx 7{,}93572.
Voltando para V:
V=\frac{X}{4{,}288336}\approx \frac{7{,}93572}{4{,}288336}\approx 1{,}85035\\ \text{m}/\text{s}.

Passo 8

Calcular o fator de atrito f usando \tau_w=\dfrac{f\rho V^2}{8}. Rearranjando:
f=\frac{8\tau_w}{\rho V^2}=\frac{8\cdot 6{,}8}{1000\cdot (1{,}85035)^2}.
Calculando numericamente:
f\approx 0{,}015888.
Como o enunciado pede que, ao preencher o formulário, multipliquemos por 10^{2}, fornecemos f\times 10^{2}:
f\times 10^{2}\approx 1{,}5888.

Passo 9

Calcular o número de Reynolds (verificação da hipótese turbulenta):
\mathrm{Re}=\frac{V D}{\nu}=\frac{1{,}85035\cdot 0{,}1}{10^{-6}}\approx 185035\\ (\text{adimensional}).
Como \mathrm{Re}\gg 4000, o escoamento é turbulento, portanto o uso da equação universal (forma de Prandtl para turbulência em tubos lisos) é consistente.

Passo 10

Calcular a vazão volumétrica Q. Área da seção:
A=\frac{\pi D^{2}}{4}=\frac{\pi (0{,}1)^{2}}{4}\approx 7{,}8539816\times 10^{-3}\\ \text{m}^2.
Portanto
Q=V A \approx 1{,}85035\cdot 7{,}8539816\times 10^{-3}\\ \text{m}^3/\text{s}\approx 0{,}014533\\ \text{m}^3/\text{s}.
Convertendo para L/s:
Q\approx 14{,}533\\ \text{L}/\text{s}.

Resposta

(a) 129{,}94\\ \text{kPa}\n
(b) 1{,}5888 (isto é, f\times 10^{2}\approx 1{,}5888)\n
(c) 14{,}533\\ \text{L/s}

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