-19 Um fio elétrico tem
de diâmetro,
de comprimento e uma resistência de
. Qual é a resistividade do material do fio?
-20 Um fio tem uma resistência
. Qual é a resistência de um segundo fio, feito do mesmo material, com metade do comprimento e metade do diâmetro?
-25 Um fio com uma resistência de
é trefilado de tal forma que o comprimento se torna três vezes maior que o inicial. Determine a resistência do fio após a operação, supondo que a resistividade e a massa específica do material permaneçam as mesmas.
-20 Um fio tem uma resistência
-25 Um fio com uma resistência de
Passo 1
Vou separar claramente o que cada item pede e listar os dados fornecidos.
-19: Pedido: determinar a resistividade do material do fio. Dados: diâmetro
, comprimento
, resistência
.
-20: Pedido: dado um fio com resistência
, encontrar a resistência de um segundo fio do mesmo material com metade do comprimento e metade do diâmetro. Dados: fio 1 tem resistência
; fio 2 tem
e diâmetro
. Mesma resistividade.
-25: Pedido: um fio com resistência
é trefilado de modo que o comprimento passa a ser três vezes o inicial; assumindo resistividade e massa específica constantes, determinar a nova resistência. Dados:
, novo comprimento
, massa específica (densidade) e resistividade constantes.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (a explicação básica, passo a passo):
A resistência elétrica de um fio homogêneo e cilíndrico é dada pela relação
onde:
-
é a resistividade do material (unidade ), uma propriedade intrínseca do material; -
é o comprimento do fio (unidade ); -
é a área da secção transversal do fio (unidade ).
Explicação da fórmula: quanto maior o comprimento
, mais “obstáculo” ao fluxo de carga, logo
cresce proporcionalmente a
. Quanto maior a área
, mais caminho para as cargas passarem, então
diminui com
. A resistividade
é o fator que traduz quão condutor ou isolante é o material.
Para um fio cilíndrico de diâmetro
e raio
, a área da seção é
Esses são os únicos ingredientes matemáticos que precisamos usar em todos os itens.
Passo 3
Resolução do item -19 (calcular a resistividade).
Dados numéricos (colocando em unidades SI):
portanto
O comprimento é
A resistência é
Calculamos a área da secção:
Usando
, obtemos
Agora simplificamos passo a passo:
então
Num valor numérico (usando
):
Arredondando com duas casas significativas (compatível com os dados dados):
Passo 4
Resolução do item -20 (metade do comprimento e metade do diâmetro).
Se o fio original tem comprimento
, diâmetro
e área
, então o segundo fio tem
A área nova é
Como o material é o mesmo,
não muda. A nova resistência é
Portanto a resistência do segundo fio é o dobro da original:
Passo 5
Resolução do item -25 (trefilamento que triplica o comprimento, densidade e resistividade constantes).
Aqui a ideia física importante: trefilar (esticar) o fio, mantendo a massa (e a densidade do material), implica que o volume do fio é constante. Volume do fio cilíndrico é
. Se
é constante e o novo comprimento é
, então a nova área
satisfaz
Ou seja, a área reduz para um terço da original.
A resistividade
permanece a mesma (foi dada). Assim a nova resistência é
Com
, temos
Resposta
-19:
-20:
-25:
-20:
-25: