-19 Um fio elétrico tem 1,0 \mathrm{~mm} de diâmetro, 2,0 \mathrm{~m} de comprimento e uma resistência de 50 \mathrm{~m} \Omega. Qual é a resistividade do material do fio?
-20 Um fio tem uma resistência R. Qual é a resistência de um segundo fio, feito do mesmo material, com metade do comprimento e metade do diâmetro?
-25 Um fio com uma resistência de 6,0 \Omega é trefilado de tal forma que o comprimento se torna três vezes maior que o inicial. Determine a resistência do fio após a operação, supondo que a resistividade e a massa específica do material permaneçam as mesmas.

Passo 1

Vou separar claramente o que cada item pede e listar os dados fornecidos.
-19: Pedido: determinar a resistividade do material do fio. Dados: diâmetro =1{,}0\\ \mathrm{mm}, comprimento =2{,}0\\ \mathrm{m}, resistência =50\\ \mathrm{m}\Omega.
-20: Pedido: dado um fio com resistência R, encontrar a resistência de um segundo fio do mesmo material com metade do comprimento e metade do diâmetro. Dados: fio 1 tem resistência R; fio 2 tem L'=\tfrac{1}{2}L e diâmetro d'=\tfrac{1}{2}d. Mesma resistividade.
-25: Pedido: um fio com resistência 6{,}0\\ \Omega é trefilado de modo que o comprimento passa a ser três vezes o inicial; assumindo resistividade e massa específica constantes, determinar a nova resistência. Dados: R=6{,}0\\ \Omega, novo comprimento L'=3L, massa específica (densidade) e resistividade constantes.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (a explicação básica, passo a passo):
A resistência elétrica de um fio homogêneo e cilíndrico é dada pela relação
R=\rho\frac{L}{A},
onde:
  • \rho é a resistividade do material (unidade \Omega\cdot\mathrm{m}), uma propriedade intrínseca do material;
  • L é o comprimento do fio (unidade \mathrm{m});
  • A é a área da secção transversal do fio (unidade \mathrm{m}^2).
Explicação da fórmula: quanto maior o comprimento L, mais “obstáculo” ao fluxo de carga, logo R cresce proporcionalmente a L. Quanto maior a área A, mais caminho para as cargas passarem, então R diminui com A. A resistividade \rho é o fator que traduz quão condutor ou isolante é o material.
Para um fio cilíndrico de diâmetro d e raio r=\tfrac{d}{2}, a área da seção é
A=\pi r^{2}=\pi\left(\frac{d}{2}\right)^{2}=\frac{\pi d^{2}}{4}.
Esses são os únicos ingredientes matemáticos que precisamos usar em todos os itens.

Passo 3

Resolução do item -19 (calcular a resistividade).
Dados numéricos (colocando em unidades SI):
d=1{,}0\\ \mathrm{mm}=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m},
portanto
r=\frac{d}{2}=0{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
O comprimento é
L=2{,}0\\ \mathrm{m}.
A resistência é
R=50\\ \mathrm{m}\Omega=50\times10^{-3}\\ \Omega=0{,}050\\ \Omega.
Calculamos a área da secção:
A=\pi r^{2}=\pi\left(0{,}5\times10^{-3}\right)^{2} =\pi\cdot0{,}25\times10^{-6} =0{,}25\pi\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^{2}.
Usando \rho=R\frac{A}{L}, obtemos
\rho=R\frac{A}{L} =0{,}050\cdot\frac{0{,}25\pi\times10^{-6}}{2{,}0}.
Agora simplificamos passo a passo:
\frac{0{,}25\pi\times10^{-6}}{2{,}0}=0{,}125\pi\times10^{-6},
então
\rho=0{,}050\times0{,}125\pi\times10^{-6} =0{,}00625\pi\times10^{-6}.
Num valor numérico (usando \pi\approx3{,}1416):
\rho\approx0{,}00625\times3{,}1416\times10^{-6} \approx0{,}0196349\times10^{-6} =1{,}96349\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.
Arredondando com duas casas significativas (compatível com os dados dados):
\rho\approx2{,}0\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.

Passo 4

Resolução do item -20 (metade do comprimento e metade do diâmetro).
Se o fio original tem comprimento L, diâmetro d e área A=\dfrac{\pi d^{2}}{4}, então o segundo fio tem
L'=\frac{1}{2}L,\qquad d'=\frac{1}{2}d.
A área nova é
A'=\frac{\pi (d')^{2}}{4}=\frac{\pi \left(\frac{d}{2}\right)^{2}}{4} =\frac{\pi d^{2}}{16}=\frac{1}{4}\cdot\frac{\pi d^{2}}{4}=\frac{A}{4}.
Como o material é o mesmo, \rho não muda. A nova resistência é
R'=\rho\frac{L'}{A'}=\rho\frac{\tfrac{1}{2}L}{\tfrac{1}{4}A} =\rho\frac{L}{A}\cdot\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{4}} =R\cdot\frac{1/2}{1/4}=R\cdot2.
Portanto a resistência do segundo fio é o dobro da original:
R'=2R.

Passo 5

Resolução do item -25 (trefilamento que triplica o comprimento, densidade e resistividade constantes).
Aqui a ideia física importante: trefilar (esticar) o fio, mantendo a massa (e a densidade do material), implica que o volume do fio é constante. Volume do fio cilíndrico é V=AL. Se V é constante e o novo comprimento é L'=3L, então a nova área A' satisfaz
A'L'=AL \quad\Rightarrow\quad A'=\frac{AL}{L'}=\frac{AL}{3L}=\frac{A}{3}.
Ou seja, a área reduz para um terço da original.
A resistividade \rho permanece a mesma (foi dada). Assim a nova resistência é
R'=\rho\frac{L'}{A'}=\rho\frac{3L}{A/3}=\rho\frac{L}{A}\cdot\frac{3}{1/3}=R\cdot9.
Com R=6{,}0\\ \Omega, temos
R'=9\times6{,}0\\ \Omega=54\\ \Omega.

Resposta

-19: 2{,}0\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}
-20: 2R
-25: 54\\ \Omega

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