-39 Uma máquina de cachorro-quente funciona aplicando uma diferença de potencial de 120 V às extremidades de uma salsicha e cozinhando-a com a energia térmica produzida. A corrente é 10,0 \mathrm{~A} e a energia necessária para cozinhar uma salsicha é 60,0 \mathrm{~kJ}. Se a potência dissipada não varia, quanto tempo é necessário para cozinhar três salsichas simultaneamente?
-40 Um resistor dissipa uma potência de 100 W quando a corrente é 3,00 \mathrm{~A}. Qual é a resistência?
-41 Uma diferença de potencial de 120 V é aplicada a um aquecedor de ambiente cuja resistência de operação é 14 \Omega. (a) Qual é a taxa de conversão de energia elétrica em energia térmica? (b) Qual é o custo de 5,0 \mathrm{~h} de uso do aquecedor se o preço da eletricidade é \mathrm{R} \ 0,05 / \mathrm{kW} \cdot \mathrm{h}$ ?

Passo 1

Problema 39:
  • O enunciado dá: uma diferença de potencial \,V=120\\ \mathrm{V}\,, uma corrente \,I=10{,}0\\ \mathrm{A}\, e a energia necessária para cozinhar uma salsicha \,E_{\text{salsicha}}=60{,}0\\ \mathrm{kJ}\,.
  • Pergunta: se a potência dissipada não varia, quanto tempo é necessário para cozinhar três salsichas simultaneamente?
Problema 40:
  • O enunciado dá: potência dissipada \,P=100\\ \mathrm{W}\, quando a corrente é \,I=3{,}00\\ \mathrm{A}\,.
  • Pergunta: qual é a resistência \,R\,?
Problema 41:
  • O enunciado dá: diferença de potencial \,V=120\\ \mathrm{V}\, e resistência de operação \,R=14\\ \Omega.
  • Perguntas:
    (a) Qual é a taxa de conversão de energia elétrica em energia térmica (ou seja, a potência \,P\,)?
    (b) Qual é o custo de 5{,}0\\ \mathrm{h} de uso se o preço da eletricidade é \,\text{R\$ }0{,}05/\mathrm{kW\cdot h}\,?

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando bem):
  • Potência elétrica: potência é a taxa de conversão de energia por unidade de tempo. Se uma fonte aplica uma diferença de potencial \,V\, e passa uma corrente \,I\,, a potência elétrica fornecida (e, no caso de um aquecedor, dissipada em calor) é
P = V I.
Aqui \,P\, está em \mathrm{W} (watts), \,V\, em volts e \,I\, em ampères. Ex.: se \,V=10\\ \mathrm{V} e \,I=2\\ \mathrm{A}, então \,P=20\\ \mathrm{W}.
  • Outras formas equivalentes (úteis quando conhecemos I ou R):
P = I^{2} R \quad\text{e}\quad P = \frac{V^{2}}{R}.
Essas vêm da lei de Ohm \,V = I R\, substituída em P=VI.
  • Energia e tempo: energia é potência vezes tempo. Se uma potência constante P atua durante tempo t, a energia fornecida é
E = P t.
Aqui \,E\, em joules se \,P\, em watts e \,t\, em segundos. Para energia em \mathrm{kW\cdot h} (usada em contas de luz), usamos P em kW e t em horas.
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo para cada item.

Passo 3

Primeiro calculamos a potência dissipada pela salsicha usando P=VI.
P = V I = (120\\ \mathrm{V})\cdot(10{,}0\\ \mathrm{A}) = 1200\\ \mathrm{W}.
Explicando: 120\\ \mathrm{V} vezes 10{,}0\\ \mathrm{A} 1200\\ \mathrm{W}. Essa é a taxa de produção de energia térmica da máquina quando uma família de salsichas está sendo aquecida (ou, no enunciado, quando uma salsicha está ligada com essa corrente).

Passo 4

Cada salsicha precisa de \,E_{\text{salsicha}}=60{,}0\\ \mathrm{kJ}=60{,}0\times 10^{3}\\ \mathrm{J}\,.
Para três salsichas simultâneas a energia total necessária é
E_{\text{total}} = 3 \times 60{,}0\times 10^{3}\\ \mathrm{J} = 180{,}0\times 10^{3}\\ \mathrm{J} = 1{,}80\times 10^{5}\\ \mathrm{J}.
Com potência constante P=1200\\ \mathrm{W}, o tempo necessário é dado por t = E_{\text{total}}/P:
t = \frac{1{,}80\times 10^{5}\\ \mathrm{J}}{1200\\ \mathrm{W}} = 150\\ \mathrm{s}.
Convertendo para minutos:
150\\ \mathrm{s} = \frac{150}{60}\\ \mathrm{min} = 2{,}50\\ \mathrm{min}.
Comentário prático: a potência de 1200\\ \mathrm{W} não aumenta só porque ligamos mais salsichas; o enunciado disse que a potência dissipada não varia, então o mesmo 1200\\ \mathrm{W} tem que ser dividido entre as três salsichas, aumentando o tempo total.

Passo 5

Usamos a relação P = I^{2} R. Isolando R,
R = \frac{P}{I^{2}}.
Substituindo P=100\\ \mathrm{W} e I=3{,}00\\ \mathrm{A},
R = \frac{100\\ \mathrm{W}}{(3{,}00\\ \mathrm{A})^{2}} = \frac{100}{9{,}00}\\ \Omega = 11{,}111\ldots\\ \Omega.
Arredondando com três algarismos significativos (os dados têm três algarismos), obtemos
R \approx 11{,}1\\ \Omega.

Passo 6

Para o aquecedor usamos P = \dfrac{V^{2}}{R}. Substituindo \,V=120\\ \mathrm{V}\, e \,R=14\\ \Omega\,:
P = \frac{(120\\ \mathrm{V})^{2}}{14\\ \Omega} = \frac{14400}{14}\\ \mathrm{W} = 1028{,}571\ldots\\ \mathrm{W}.
Convertendo para kilowatts ( 1\\ \mathrm{kW}=1000\\ \mathrm{W}):
P \approx 1{,}03\\ \mathrm{kW}.
Explicando: o aquecedor consome cerca de 1{,}03\\ \mathrm{kW} de potência elétrica, que é convertida em calor.

Passo 7

Energia consumida em t=5{,}0\\ \mathrm{h} com potência P em kW:
\text{Energia} = P(\mathrm{kW}) \times t(\mathrm{h}).
Usando P=1{,}028571\ldots\\ \mathrm{kW} (valor exato em kW) e t=5{,}0\\ \mathrm{h},
\text{Energia} = 1{,}028571\ldots\\ \mathrm{kW}\times 5{,}0\\ \mathrm{h} = 5{,}142857\ldots\\ \mathrm{kW\cdot h}.
Preço da eletricidade: \,\text{R\$ }0{,}05/\mathrm{kW\cdot h}\,. Então o custo é
\text{Custo} = 5{,}142857\ldots\\ \mathrm{kW\cdot h}\times 0{,}05\\ \frac{\text{R\$}}{\mathrm{kW\cdot h}} = 0{,}25714285\ldots\\ \text{R\$}.
Arredondando para centavos (duas casas decimais) temos
\text{Custo} \approx 0{,}26\\ \text{R\$}.

Resposta

t=150\\ \mathrm{s}=2{,}50\\ \mathrm{min} (para cozinhar três salsichas simultaneamente)
R=11{,}1\\ \Omega
(a) P=1{,}03\\ \mathrm{kW}
(b) \text{Custo}\approx \text{R\$ }0{,}26

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