Suponha um tanque em formato de tronco de cone (isto é, um cone invertido). Sabendo que a variação crescente do volume com o tempo é dada por
(ou seja
), calcule a velocidade de aumento do nível da água (ou seja,
), quando a água estiver a 2 metros do fundo (
).
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- A taxa de variação do volume da água é
. - No instante de interesse
a altura da água medida a partir do fundo é .
O que o enunciado pede: - Calcular a velocidade de aumento do nível da água, ou seja
.
Observação importante sobre os dados e interpretação do tanque:
- O enunciado diz “tronco de cone (isto é, um cone invertido)”. Há uma ambiguidade: um “tronco de cone” é uma frustro (base inferior com raio não nulo), enquanto “cone invertido” muitas vezes refere-se a um cone completo com vértice apontando para baixo. Para poder resolver com uma fórmula simples e didática, vou assumir o modelo mais usado em exercícios de taxas relacionadas: um cone completo invertido com vértice para baixo e altura total
e raio da boca superior . Vou explicar também, ao final, como proceder se o tanque for realmente um tronco de cone (frustro). - Observação final: para obter um valor numérico de
é necessário conhecer as dimensões do tanque ( e ). Como esses valores não foram fornecidos, o resultado ficará expresso em função de e .
Passo 2
Definição de variáveis e relação geométrica (sem pular etapas).
- Seja
a altura da água no instante (medida a partir do vértice/ fundo). - Seja
o raio da superfície livre da água no instante . - Seja
a altura total do cone (quando cheio até a boca) e o raio da boca do cone (na altura ).
A relação entre
e
vem de triângulos semelhantes: no desenho do cone os triângulos formados pela geratriz dão que a razão entre raio e altura é constante. Portanto:
Isto implica
Explicando de maneira bem concreta: ao subir a água uma certa proporção da altura, o raio da superfície aumenta exatamente na mesma proporção porque as paredes do cone são retas. Por isso podemos escrever
como constante vezes
.
Passo 3
Fórmula do volume do cone cheio até altura
(substituindo a dependência
).
- A fórmula do volume de um cone de raio da base
e altura é
Aqui:
-
é o volume de água (em ), -
é o raio da superfície livre (em ), -
é a altura da água (em ), -
é a constante geométrica.
Substituindo
na fórmula do volume:
Expliquei cada passo: primeiro ao quadrado o termo
dá
e multiplicando por
resulta em
.
Passo 4
Derivação temporal (usar regra da cadeia).
Agora diferenciamos ambos os lados em relação ao tempo . Como
e
dependem de
, aplicamos a regra da cadeia:
Agora diferenciamos ambos os lados em relação ao tempo
A constante
sai da derivada:
Derivando
usando a regra da potência (
):
Simplificando os
e
:
Esta é a relação entre a taxa de variação do volume
e a taxa de variação da altura
.
Passo 5
Isolar
e substituir os valores conhecidos.
Da relação anterior resolvemos para :
Da relação anterior resolvemos para
Agora substituímos o valor dado
e a altura
:
Simplificando a fração
:
Comentário sobre unidades:
está em
,
é adimensional, e a divisão por
e por
deixa a unidade final em
como esperado.
Passo 6
Observação sobre o caso em que o tanque é realmente um tronco de cone (frustro).
Se o tanque for um tronco de cone com raio do fundo diferente de zero e raio da boca
, a relação entre
e
passa a ser
Se o tanque for um tronco de cone com raio do fundo
e o volume da água de altura
é
Nesse caso a maneira prática de obter
é calcular
a partir dessa expressão e então usar
O resultado será uma expressão em termos de
e
. Sem os valores numéricos de
não é possível dar um número final.
Passo 7
Resumo final e motivação.
- Assumindo o modelo padrão de cone completo invertido (vértice para baixo) com altura total
e raio da boca , a velocidade de subida do nível quando é
- Sem
e numéricos não é possível entregar um valor numérico único. Se o tanque for um frustro (tronco de cone) a fórmula muda, mas o procedimento é o mesmo: achar , derivar e usar .
Força aí — se quiser eu faço o cálculo numérico se você me disser os valores de
e
do tanque. (Não estou pedindo agora; é só para você saber que falta isso para um número.)