Suponha um tanque em formato de tronco de cone (isto é, um cone invertido). Sabendo que a variação crescente do volume com o tempo é dada por 10 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min} (ou seja V^{\prime}(\mathrm{t})=10 ), calcule a velocidade de aumento do nível da água (ou seja, \mathrm{h}^{\prime}\left(\mathrm{t}^{*}\right) ), quando a água estiver a 2 metros do fundo ( \mathrm{h}\left(\mathrm{t}^{*}\right)=2 ).

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • A taxa de variação do volume da água é \;V'(\,t\,)=10\\ \mathrm{m^{3}/min}.
  • No instante de interesse t^{*} a altura da água medida a partir do fundo é \;h(t^{*})=2\\ \mathrm{m}.
    O que o enunciado pede:
  • Calcular a velocidade de aumento do nível da água, ou seja \;h'(\,t^{*}).
Observação importante sobre os dados e interpretação do tanque:
  • O enunciado diz “tronco de cone (isto é, um cone invertido)”. Há uma ambiguidade: um “tronco de cone” é uma frustro (base inferior com raio não nulo), enquanto “cone invertido” muitas vezes refere-se a um cone completo com vértice apontando para baixo. Para poder resolver com uma fórmula simples e didática, vou assumir o modelo mais usado em exercícios de taxas relacionadas: um cone completo invertido com vértice para baixo e altura total \;H e raio da boca superior \;R. Vou explicar também, ao final, como proceder se o tanque for realmente um tronco de cone (frustro).
  • Observação final: para obter um valor numérico de \;h'(\,t^{*}) é necessário conhecer as dimensões do tanque ( \;R e \;H). Como esses valores não foram fornecidos, o resultado ficará expresso em função de \;R e \;H.

Passo 2

Definição de variáveis e relação geométrica (sem pular etapas).
  • Seja \;h(t) a altura da água no instante t (medida a partir do vértice/ fundo).
  • Seja \;r(t) o raio da superfície livre da água no instante t.
  • Seja \;H a altura total do cone (quando cheio até a boca) e \;R o raio da boca do cone (na altura \;H).
A relação entre \;r e \;h vem de triângulos semelhantes: no desenho do cone os triângulos formados pela geratriz dão que a razão entre raio e altura é constante. Portanto:
\frac{r}{h}=\frac{R}{H}.
Isto implica
r = \frac{R}{H}\,h.
Explicando de maneira bem concreta: ao subir a água uma certa proporção da altura, o raio da superfície aumenta exatamente na mesma proporção porque as paredes do cone são retas. Por isso podemos escrever r como constante vezes h.

Passo 3

Fórmula do volume do cone cheio até altura h (substituindo a dependência r(h)).
  • A fórmula do volume de um cone de raio da base \;r e altura \;h é
V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h.
Aqui:
  • \;V é o volume de água (em \mathrm{m^{3}}),
  • \;r é o raio da superfície livre (em \mathrm{m}),
  • \;h é a altura da água (em \mathrm{m}),
  • \pi é a constante geométrica.
Substituindo \;r=\dfrac{R}{H}h na fórmula do volume:
V(h)=\frac{1}{3}\pi\left(\frac{R}{H}h\right)^{2}h =\frac{1}{3}\pi\frac{R^{2}}{H^{2}}h^{3}.
Expliquei cada passo: primeiro ao quadrado o termo \left(\frac{R}{H}h\right)^{2} \frac{R^{2}}{H^{2}}h^{2} e multiplicando por h resulta em h^{3}.

Passo 4

Derivação temporal (usar regra da cadeia).
Agora diferenciamos ambos os lados em relação ao tempo t. Como V e h dependem de t, aplicamos a regra da cadeia:
V'=\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{3}\pi\frac{R^{2}}{H^{2}}h^{3}\right).
A constante \frac{1}{3}\pi\frac{R^{2}}{H^{2}} sai da derivada:
V'=\frac{1}{3}\pi\frac{R^{2}}{H^{2}}\cdot \frac{d}{dt}\left(h^{3}\right).
Derivando h^{3} usando a regra da potência ( \frac{d}{dt}h^{3}=3h^{2}h'):
V'=\frac{1}{3}\pi\frac{R^{2}}{H^{2}}\cdot 3h^{2}h'.
Simplificando os 3 e \frac{1}{3}:
V'=\pi\frac{R^{2}}{H^{2}}\,h^{2}\,h'.
Esta é a relação entre a taxa de variação do volume V' e a taxa de variação da altura h'.

Passo 5

Isolar \;h' e substituir os valores conhecidos.
Da relação anterior resolvemos para \;h':
h'=\frac{V'}{\pi\frac{R^{2}}{H^{2}}\,h^{2}} =V'\cdot\frac{H^{2}}{\pi R^{2}h^{2}}.
Agora substituímos o valor dado \;V'=10\\ \mathrm{m^{3}/min} e a altura \;h=2\\ \mathrm{m}:
h'=\;10\cdot\frac{H^{2}}{\pi R^{2}\cdot 2^{2}} =10\cdot\frac{H^{2}}{4\pi R^{2}}.
Simplificando a fração 10/4:
h'=\frac{5H^{2}}{2\pi R^{2}}\\ \mathrm{m/min}.
Comentário sobre unidades: V' está em \mathrm{m^{3}/min}, H^{2}/R^{2} é adimensional, e a divisão por \pi e por h^{2} deixa a unidade final em \mathrm{m/min} como esperado.

Passo 6

Observação sobre o caso em que o tanque é realmente um tronco de cone (frustro).
Se o tanque for um tronco de cone com raio do fundo \;r_{0} diferente de zero e raio da boca \;R, a relação entre r e h passa a ser
r(h)=r_{0}+\frac{R-r_{0}}{H}\,h,
e o volume da água de altura h é
V(h)=\frac{1}{3}\pi h\bigl(r_{0}^{2}+r_{0}r(h)+r(h)^{2}\bigr).
Nesse caso a maneira prática de obter \;h' é calcular \;dV/dh a partir dessa expressão e então usar
h'=\frac{V'}{dV/dh}.
O resultado será uma expressão em termos de \;r_{0},R,H e h. Sem os valores numéricos de \;r_{0},R,H não é possível dar um número final.

Passo 7

Resumo final e motivação.
  • Assumindo o modelo padrão de cone completo invertido (vértice para baixo) com altura total \;H e raio da boca \;R, a velocidade de subida do nível quando \;h=2\\ \mathrm{m} é
h'=\frac{5H^{2}}{2\pi R^{2}}\\ \mathrm{m/min}.
  • Sem \;R e \;H numéricos não é possível entregar um valor numérico único. Se o tanque for um frustro (tronco de cone) a fórmula muda, mas o procedimento é o mesmo: achar V(h), derivar dV/dh e usar h'=V'/(dV/dh).
Força aí — se quiser eu faço o cálculo numérico se você me disser os valores de \;R e \;H do tanque. (Não estou pedindo agora; é só para você saber que falta isso para um número.)

Resposta

\displaystyle h'=\frac{5H^{2}}{2\pi R^{2}}\\ \mathrm{m/min}

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