(ITA-SP/1970) Uma corda vibrante emite uma nota de frequência fundamental f. Substitui-se a corda de modo que são alterados apenas dois parâmetros de cada vez. Em que caso a nova corda pode produzir uma nota de mesma frequência fundamental
? Considere que os fatores não mencionados não variaram. Por exemplo, no item a não há variação do diâmetro ou do material de que é feita a corda.\na) a corda é substituída por outra de maior comprimento e a tensão é reduzida.\nb) a corda é substituída por uma outra de maior diâmetro e maior comprimento.\nc) a corda é substituída por uma outra de mesmo diâmetro, porém, feita de material mais denso e a tensão é reduzida.\nd) a corda é substituída por uma outra de material mais denso e de menor diâmetro.\ne) a corda é substituída por uma outra de mesmo diâmetro, porém, de material mais denso e de maior comprimento.
Passo 1
O enunciado diz que havia uma corda que emitia uma nota de frequência fundamental
. Substitui-se a corda por outra em que, em cada item, apenas dois parâmetros variam (os não mencionados permanecem iguais). A pergunta: em qual dos itens a nova corda pode produzir a mesma frequência fundamental
(isto é, existe alguma escolha dos valores novos que faz a frequência permanecer igual)?
Vou listar, para cada item, exatamente o que muda (os outros fatores permanecem iguais):
- a) aumenta o comprimento
e diminui a tensão . O diâmetro e o material (densidade ) não mudam. - b) aumenta o diâmetro
e aumenta o comprimento . A tensão e o material (densidade ) não mudam. - c) mesmo diâmetro
, material mais denso ( aumenta) e tensão reduzida. O comprimento não muda. - d) material mais denso (
aumenta) e diâmetro menor. A tensão e o comprimento não mudam. - e) mesmo diâmetro
, material mais denso ( aumenta) e maior comprimento . A tensão não muda.
Passo 2
Fórmula básica e significado das variáveis (aula curta e prática):
- A velocidade das ondas transversais numa corda tensa é
, onde -
é a velocidade de propagação da onda na corda, -
é a tensão da corda (força de tração), -
é a massa por unidade de comprimento da corda (densidade linear).
-
- A frequência fundamental de uma corda fixa nas duas extremidades é
onde
é o comprimento da corda.
Explicando
: se a corda tem material de massa volumétrica
e seção transversal circular de diâmetro
, então a área da seção é
e
Ou seja, aumentar
ou aumentar
aumenta
; diminuir algum deles diminui
.
Passo 3
Condição para a frequência permanecer a mesma: se inicialmente
era
e depois for
queremos
. Igualando e elevando ao quadrado:
Essa é a condição equivalente e fácil de usar: a quantidade
tem que permanecer igual.
Agora, com essa condição vamos analisar item a item, usando que alguns parâmetros mudam em sentido conhecido (aumentam/diminuem) e os outros permanecem iguais.
Passo 4
Análise do item (a):
aumenta (
),
diminui (
), e
(mesmo diâmetro e material).
- A condição é
, que reduz para
- Como
, o fator , logo a igualdade exige . - Mas o enunciado diz que a tensão foi reduzida (
). Logo essa exigência contradiz a direção dada das variações: não é possível manter . Conclusão: item (a) é impossível.
Passo 5
Análise do item (b):
aumenta
, e
aumenta
. A tensão
permanece igual (
).
- A condição é
, que equivale a
- Mas como
e , o produto é estritamente maior que . Não há como essas duas quantidades serem iguais se ambas as parcelas aumentaram. Conclusão: item (b) é impossível.
Passo 6
Análise do item (c): mesmo
(logo a área
é a mesma), material mais denso
então
, e a tensão é reduzida
. O comprimento
é o mesmo (
).
- A condição com
constante é , ou seja
- Como
, essa igualdade exige . Mas nos disseram que . Portanto há contradição: com aumentado e igual, manter exigiria aumentar a tensão, não reduzi-la. Conclusão: item (c) é impossível.
Passo 7
Análise do item (d): material mais denso (
) e diâmetro menor (
). O comprimento
e a tensão
permanecem iguais (
,
).
- Aqui a única quantidade que muda na fórmula é
. Lembre-se . Então
- A condição para manter
(com e iguais) é simplesmente . Isso pode acontecer se escolhermos tal que
ou explicitamente
- Como
, esse é menor que , exatamente na direção indicada pelo enunciado (diâmetro menor). Portanto é possível — escolhendo adequadamente o novo diâmetro — manter a mesma massa por unidade de comprimento e assim manter a mesma frequência . Conclusão: item (d) é possível.
Passo 8
Análise do item (e): mesmo diâmetro (
igual
mesma área), material mais denso (
), e comprimento maior (
). Tensão
não muda.
- A condição é
. - Mas como
e , o produto será maior que ; não podem ser iguais. Logo impossível manter . Conclusão: item (e) é impossível.
Passo 9
Resumo final do raciocínio: apenas no item (d) existe liberdade de ajustar o novo diâmetro de modo que a massa linear
fique igual à original, enquanto
e
também permanecem iguais — e isso garante
inalterado. Nos outros itens, as direções das variações (aumento/diminuição) não permitem satisfazer a condição
const.
Resposta
d)