(ITA-SP/1970) Uma corda vibrante emite uma nota de frequência fundamental f. Substitui-se a corda de modo que são alterados apenas dois parâmetros de cada vez. Em que caso a nova corda pode produzir uma nota de mesma frequência fundamental \mathbf{f} ? Considere que os fatores não mencionados não variaram. Por exemplo, no item a não há variação do diâmetro ou do material de que é feita a corda.\na) a corda é substituída por outra de maior comprimento e a tensão é reduzida.\nb) a corda é substituída por uma outra de maior diâmetro e maior comprimento.\nc) a corda é substituída por uma outra de mesmo diâmetro, porém, feita de material mais denso e a tensão é reduzida.\nd) a corda é substituída por uma outra de material mais denso e de menor diâmetro.\ne) a corda é substituída por uma outra de mesmo diâmetro, porém, de material mais denso e de maior comprimento.

Passo 1

O enunciado diz que havia uma corda que emitia uma nota de frequência fundamental f. Substitui-se a corda por outra em que, em cada item, apenas dois parâmetros variam (os não mencionados permanecem iguais). A pergunta: em qual dos itens a nova corda pode produzir a mesma frequência fundamental f (isto é, existe alguma escolha dos valores novos que faz a frequência permanecer igual)?
Vou listar, para cada item, exatamente o que muda (os outros fatores permanecem iguais):
  • a) aumenta o comprimento L e diminui a tensão T. O diâmetro d e o material (densidade \rho) não mudam.
  • b) aumenta o diâmetro d e aumenta o comprimento L. A tensão T e o material (densidade \rho) não mudam.
  • c) mesmo diâmetro d, material mais denso ( \rho aumenta) e tensão T reduzida. O comprimento L não muda.
  • d) material mais denso ( \rho aumenta) e diâmetro d menor. A tensão T e o comprimento L não mudam.
  • e) mesmo diâmetro d, material mais denso ( \rho aumenta) e maior comprimento L. A tensão T não muda.

Passo 2

Fórmula básica e significado das variáveis (aula curta e prática):
  • A velocidade das ondas transversais numa corda tensa é \displaystyle v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}, onde
    • \displaystyle v é a velocidade de propagação da onda na corda,
    • \displaystyle T é a tensão da corda (força de tração),
    • \displaystyle \mu é a massa por unidade de comprimento da corda (densidade linear).
  • A frequência fundamental de uma corda fixa nas duas extremidades é
f=\frac{v}{2L}=\frac{1}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu}},
onde \displaystyle L é o comprimento da corda.
Explicando \mu: se a corda tem material de massa volumétrica \rho e seção transversal circular de diâmetro d, então a área da seção é A=\dfrac{\pi d^2}{4} e
\mu=\rho A=\rho\frac{\pi d^2}{4}.
Ou seja, aumentar \rho ou aumentar d aumenta \mu; diminuir algum deles diminui \mu.

Passo 3

Condição para a frequência permanecer a mesma: se inicialmente f era
f=\frac{1}{2L_0}\sqrt{\frac{T_0}{\mu_0}}
e depois for
f'=\frac{1}{2L_1}\sqrt{\frac{T_1}{\mu_1}},
queremos f'=f. Igualando e elevando ao quadrado:
\frac{T_1}{\mu_1 L_1^2}=\frac{T_0}{\mu_0 L_0^2}.
Essa é a condição equivalente e fácil de usar: a quantidade \dfrac{T}{\mu L^2} tem que permanecer igual.
Agora, com essa condição vamos analisar item a item, usando que alguns parâmetros mudam em sentido conhecido (aumentam/diminuem) e os outros permanecem iguais.

Passo 4

Análise do item (a): L aumenta ( L_1>L_0), T diminui ( T_1<T_0), e \mu_1=\mu_0 (mesmo diâmetro e material).
  • A condição é \dfrac{T_1}{\mu_0 L_1^2}=\dfrac{T_0}{\mu_0 L_0^2}, que reduz para
T_1 = T_0\left(\frac{L_1}{L_0}\right)^2.
  • Como \dfrac{L_1}{L_0}>1, o fator \left(\dfrac{L_1}{L_0}\right)^2>1, logo a igualdade exige T_1>T_0.
  • Mas o enunciado diz que a tensão foi reduzida ( T_1<T_0). Logo essa exigência contradiz a direção dada das variações: não é possível manter f. Conclusão: item (a) é impossível.

Passo 5

Análise do item (b): d aumenta \Rightarrow \mu_1>\mu_0, e L aumenta \Rightarrow L_1>L_0. A tensão T permanece igual ( T_1=T_0).
  • A condição é \dfrac{T_0}{\mu_1 L_1^2}=\dfrac{T_0}{\mu_0 L_0^2}, que equivale a
\mu_1 L_1^2=\mu_0 L_0^2.
  • Mas como \mu_1>\mu_0 e L_1^2>L_0^2, o produto \mu_1 L_1^2 é estritamente maior que \mu_0 L_0^2. Não há como essas duas quantidades serem iguais se ambas as parcelas aumentaram. Conclusão: item (b) é impossível.

Passo 6

Análise do item (c): mesmo d (logo a área A é a mesma), material mais denso \Rightarrow \rho_1>\rho_0 então \mu_1>\mu_0, e a tensão é reduzida T_1<T_0. O comprimento L é o mesmo ( L_1=L_0).
  • A condição com L constante é T_1/\mu_1=T_0/\mu_0, ou seja
T_1 = T_0\frac{\mu_1}{\mu_0}.
  • Como \mu_1/\mu_0>1, essa igualdade exige T_1>T_0. Mas nos disseram que T_1<T_0. Portanto há contradição: com \rho aumentado e d igual, manter f exigiria aumentar a tensão, não reduzi-la. Conclusão: item (c) é impossível.

Passo 7

Análise do item (d): material mais denso ( \rho_1>\rho_0) e diâmetro menor ( d_1<d_0). O comprimento L e a tensão T permanecem iguais ( L_1=L_0, T_1=T_0).
  • Aqui a única quantidade que muda na fórmula é \mu. Lembre-se \mu=\rho\frac{\pi d^2}{4}. Então
\mu_1=\rho_1\frac{\pi d_1^2}{4},\qquad \mu_0=\rho_0\frac{\pi d_0^2}{4}.
  • A condição para manter f (com T e L iguais) é simplesmente \mu_1=\mu_0. Isso pode acontecer se escolhermos d_1 tal que
\rho_1 d_1^2=\rho_0 d_0^2,
ou explicitamente
d_1=d_0\sqrt{\frac{\rho_0}{\rho_1}}.
  • Como \rho_1>\rho_0, esse d_1 é menor que d_0, exatamente na direção indicada pelo enunciado (diâmetro menor). Portanto é possível — escolhendo adequadamente o novo diâmetro — manter a mesma massa por unidade de comprimento \mu e assim manter a mesma frequência f. Conclusão: item (d) é possível.

Passo 8

Análise do item (e): mesmo diâmetro ( d igual \Rightarrow mesma área), material mais denso ( \rho_1>\rho_0 \Rightarrow \mu_1>\mu_0), e comprimento maior ( L_1>L_0). Tensão T não muda.
  • A condição é \mu_1 L_1^2=\mu_0 L_0^2.
  • Mas como \mu_1>\mu_0 e L_1^2>L_0^2, o produto \mu_1 L_1^2 será maior que \mu_0 L_0^2; não podem ser iguais. Logo impossível manter f. Conclusão: item (e) é impossível.

Passo 9

Resumo final do raciocínio: apenas no item (d) existe liberdade de ajustar o novo diâmetro de modo que a massa linear \mu fique igual à original, enquanto T e L também permanecem iguais — e isso garante f inalterado. Nos outros itens, as direções das variações (aumento/diminuição) não permitem satisfazer a condição \dfrac{T}{\mu L^2}= const.

Resposta

d)

Exercícios relacionados