Um avião, após deslocar-se 120 km para nordeste (NE), desloca-se 160 km para sudeste (SE). Sendo um quarto de hora, o tempo total dessa viagem, o módulo da velocidade vetorial média do avião, nesse tempo, foi de
a) 320 \mathrm{~km} / \mathrm{h}
b) 480 \mathrm{~km} / \mathrm{h}
c) 540 \mathrm{~km} / \mathrm{h}
d) 640 \mathrm{~km} / \mathrm{h}
e) 800 \mathrm{~km} / \mathrm{h}

Passo 1

O enunciado pede o módulo da velocidade vetorial média do avião durante toda a viagem. Informações dadas:
  • O avião desloca-se 120\\ \mathrm{km} para nordeste (NE).
  • Depois desloca-se 160\\ \mathrm{km} para sudeste (SE).
  • O tempo total da viagem é de um quarto de hora, isto é, \tfrac{1}{4}\\ \mathrm{h} = 0,25\\ \mathrm{h}.
  • Precisamos calcular o módulo da velocidade vetorial média durante esse intervalo de tempo.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): a velocidade vetorial média \vec{v}_{\text{m}} é dada pela razão entre o deslocamento vetorial total \Delta \vec{r} e o tempo total \Delta t:
\vec{v}_{\text{m}}=\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}.
O módulo da velocidade média é
\|\vec{v}_{\text{m}}\|=\frac{\|\Delta \vec{r}\|}{\Delta t},
ou seja, precisamos primeiro achar o deslocamento resultante \Delta \vec{r} (um vetor), depois seu módulo \|\Delta \vec{r}\| (uma distância) e por fim dividir por \Delta t.

Passo 3

Escolha de eixos e interpretação das direções (didática): tomo o eixo x apontando para leste (east) e o eixo y apontando para norte (north).
  • Direção nordeste (NE) faz um ângulo de 45^\circ com o eixo x, com componentes positivas em x e y.
  • Direção sudeste (SE) também tem ângulo de 45^\circ com o eixo x, mas tem componente x positiva e componente y negativa.
Para decompor um deslocamento de módulo d que faz ângulo \theta com o eixo x, usamos:
\text{componente em }x: d\cos\theta,\qquad \text{componente em }y: d\sin\theta.
No caso de \theta=45^\circ vale \cos45^\circ=\sin45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 4

Decompondo o primeiro deslocamento \vec{r}_1 de 120\\ \mathrm{km} em NE:
\vec{r}_1 = (120\cos45^\circ)\,\hat{\imath} + (120\sin45^\circ)\,\hat{\jmath}.
Usando \cos45^\circ=\sin45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, obtemos
120\cos45^\circ = 120\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=60\sqrt{2},
logo
\vec{r}_1 = (60\sqrt{2})\,\hat{\imath} + (60\sqrt{2})\,\hat{\jmath}\quad(\mathrm{km}).

Passo 5

Decompondo o segundo deslocamento \vec{r}_2 de 160\\ \mathrm{km} em SE:
  • componente x positiva: 160\cos45^\circ,
  • componente y negativa: -160\sin45^\circ.
Calculando:
160\cos45^\circ = 160\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=80\sqrt{2},
então
\vec{r}_2 = (80\sqrt{2})\,\hat{\imath} + (-80\sqrt{2})\,\hat{\jmath}\quad(\mathrm{km}).

Passo 6

Agora somamos os vetores para obter o deslocamento resultante \Delta \vec{r}=\vec{r}_1+\vec{r}_2:
\Delta \vec{r} = \big(60\sqrt{2}+80\sqrt{2}\big)\,\hat{\imath} + \big(60\sqrt{2}-80\sqrt{2}\big)\,\hat{\jmath}.
Simplificando:
\Delta \vec{r} = (140\sqrt{2})\,\hat{\imath} + (-20\sqrt{2})\,\hat{\jmath}\quad(\mathrm{km}).

Passo 7

Calculamos o módulo do deslocamento resultante \|\Delta \vec{r}\|:
\|\Delta \vec{r}\|=\sqrt{(140\sqrt{2})^2+(-20\sqrt{2})^2}.
Desenvolvendo os quadrados:
(140\sqrt{2})^2 = 140^2\cdot 2 = 19600\cdot 2 = 39200,
(20\sqrt{2})^2 = 20^2\cdot 2 = 400\cdot 2 = 800.
Somando:
\|\Delta \vec{r}\|=\sqrt{39200+800}=\sqrt{40000}=200\\ \mathrm{km}.
Portanto o deslocamento total tem módulo 200\\ \mathrm{km}.

Passo 8

Finalmente, o módulo da velocidade vetorial média é
\|\vec{v}_{\text{m}}\|=\frac{\|\Delta \vec{r}\|}{\Delta t}=\frac{200\\ \mathrm{km}}{0{,}25\\ \mathrm{h}}=800\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}.
Isso responde ao que foi pedido: a velocidade vetorial média, em módulo, durante o intervalo.

Resposta

e) 800\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}

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