9.20 Obtenha a série de Laurent de
f(z)=\frac{1}{[z-(1+i)][z-(2+i)]}
em torno de z_{0}=2+\mathrm{i} no anel |z-(2+\mathrm{i})|<1.

Passo 1

O enunciado pede a série de Laurent de
f(z)=\frac{1}{[z-(1+i)][z-(2+i)]}
em torno de z_{0}=2+i válida no disco |z-(2+i)|<1.
O conteúdo aqui é reescrever f(z) em termos da variável w=z-(2+i), fatorar para aparecer um termo \tfrac1w e usar a expansão geométrica em 1/(1+w).

Passo 2

Definimos
w = z - (2+i).
Então
z-(2+i)=w, \quad z-(1+i) = [\,2+i+w\,] - (1+i) = 1 + w.
Substituindo em f(z), temos
f(z) = \frac{1}{w\,(1+w)}.

Passo 3

Escrevemos
f(z) = \frac{1}{w}\,\frac{1}{1+w}.
Para |w|<1, podemos expandir a parte 1/(1+w) como série geométrica, pois
\frac{1}{1+w} = \frac{1}{1 - (-w)} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n w^n.

Passo 4

Multiplicando pela factor 1/w, obtemos a série de Laurent em potências de w:
f(z) = \frac{1}{w}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n w^n = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n w^{n-1}.
Reindexando com k=n-1 (ou seja, n=k+1), fica
f(z) = \sum_{k=-1}^{\infty}(-1)^{k+1}w^k,
onde w=z-(2+i).

Resposta

A série de Laurent de f(z) em torno de z_{0}=2+i para \lvert z-(2+i)\rvert<1 é
f(z) = \sum_{k=-1}^{\infty}(-1)^{k+1}\bigl(z-(2+i)\bigr)^k = \frac{1}{z-(2+i)} \;-\; 1 \;+\; \bigl(z-(2+i)\bigr)\;-\;\bigl(z-(2+i)\bigr)^2\;+\cdots.

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