1.20 Um feixe luminoso monocromático no vácuo possui comprimento de onda igual a \lambda_{0}. Obtenha relações:
(b) para a frequência desta onda quando ela se propaga em um meio de índice de refração n,

Passo 1

O enunciado dá um feixe monocromático no vácuo com comprimento de onda \lambda_{0} e pede a relação para a frequência dessa onda quando ela passa a propagar-se em um meio com índice de refração n.
Informações fornecidas e o que se pede:
  • Comprimento de onda no vácuo: \lambda_{0}.
  • Índice de refração do meio: n.
  • Pede-se: a frequência da onda quando ela está no meio (em função de n e de \lambda_{0}, se for preciso).

Passo 2

Vamos lembrar e definir a relação básica entre velocidade de propagação, frequência e comprimento de onda para uma onda harmônica:
v = f\,\lambda,
onde:
  • v é a velocidade da onda no meio considerado,
  • f é a frequência (número de oscilações por segundo),
  • \lambda é o comprimento de onda no meio considerado.
Expliquei isso assim porque é a relação fundamental que liga as três quantidades: a cada oscilação a onda avança uma distância igual ao comprimento de onda; se acontecem f oscilações por segundo, em um segundo a frente de onda percorre f\lambda, que é a velocidade.

Passo 3

No vácuo a velocidade da luz é \,c. Assim a frequência da onda no vácuo (que chamamos de f_0) relaciona-se com \lambda_{0} por
f_0=\frac{c}{\lambda_{0}}.
Aqui defini \,f_0 apenas para referir à frequência quando a onda estava no vácuo.

Passo 4

Ao passar para outro meio, a velocidade da onda muda. Para um meio transparente com índice de refração n a velocidade de fase da luz é
v=\frac{c}{n}.
É importante entender por que a frequência não muda ao atravessar a superfície: a fronteira impõe que o campo elétrico/magnético no ponto de contato oscile com a mesma sequência temporal antes e depois da passagem (continuidade temporal da oscilação). Em linguagem mais técnica, a condição de contorno exige que a fase temporal \omega t seja a mesma para todas as partes da interface, logo a pulsação \omega (e portanto f=\omega/2\pi) é contínua através da interface. Na prática: a frequência permanece igual à do feixe incidente.

Passo 5

Como a frequência não muda ao entrar no meio, a frequência na região do meio é igual à frequência no vácuo:
f=f_0.
Substituindo f_0 da etapa anterior:
f=\frac{c}{\lambda_{0}}.

Passo 6

Para conferir a consistência, podemos também obter o comprimento de onda no meio \lambda usando v=f\lambda. Como v=c/n e f=c/\lambda_{0}, tem-se
\lambda=\frac{v}{f}=\frac{c/n}{c/\lambda_{0}}=\frac{\lambda_{0}}{n},
ou seja, o comprimento de onda diminui pelo fator n enquanto a frequência permanece a mesma — resultado coerente com as etapas anteriores.

Resposta

f=\frac{c}{\lambda_{0}}

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