-••19 É possível remover energia da água na forma de calor na temperatura de congelamento ( 0,0^{\circ} \mathrm{C} à pressão atmosférica) ou mesmo abaixo dessa temperatura sem que a água congele; quando isso acontece, dizemos que a água está super-resfriada. Suponha que uma gota d’água de 1,00 \mathrm{~g} seja super-resfriada até que sua temperatura seja a mesma do ar nas vizinhanças, -5,00^{\circ} \mathrm{C}. Em seguida, a gota congela bruscamente, transferindo energia para o ar na forma de calor. Qual é a variação da entropia da gota? (Sugestão: Use um processo reversível de três estágios, como se a gota passasse pelo ponto normal de congelamento.) O calor específico do gelo é 2220 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}.

Passo 1

O enunciado pede a variação de entropia de uma gota de massa m=1{,}00\\ \mathrm{g}=0{,}001\\ \mathrm{kg} que, estando super-resfriada a -5{,}00\,^{\circ}\mathrm{C} (isto é, líquida a 268{,}15\\ \mathrm{K}), congela-se e fica como gelo a -5{,}00\,^{\circ}\mathrm{C}. Como entropia é função de estado, podemos calcular \Delta S por um caminho reversível em três etapas:
1. aquecer reversivelmente a água líquida de 268{,}15\\ \mathrm{K} até 273{,}15\\ \mathrm{K},
2. congelar reversivelmente a 273{,}15\\ \mathrm{K},
3. resfriar reversivelmente o gelo de 273{,}15\\ \mathrm{K} de volta a 268{,}15\\ \mathrm{K}.
Usaremos: calor específico da água líquida c_{\ell}=4186\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}, calor de fusão \displaystyle L_f=3{,}337\times10^{5}\\ \mathrm{J/kg} e calor específico do gelo c_s=2220\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.

Passo 2

Calcular a variação de entropia na etapa de aquecimento da água líquida de T_1=268{,}15\\ \mathrm{K} até T_2=273{,}15\\ \mathrm{K}.
\Delta S_1 = m\,c_{\ell}\,\ln\!\biggl(\frac{T_2}{T_1}\biggr) =0{,}001\cdot4186\;\ln\!\Bigl(\frac{273{,}15}{268{,}15}\Bigr) \approx0{,}001\cdot4186\cdot0{,}01848 \approx0{,}0774\\ \mathrm{J/K}.

Passo 3

Calcular a variação de entropia na fusão reversível (na verdade solidificação) a T_m=273{,}15\\ \mathrm{K}:
\Delta S_2 = -\frac{m\,L_f}{T_m} =-\frac{0{,}001\cdot3{,}337\times10^{5}}{273{,}15} \approx -1{,}222\\ \mathrm{J/K}.

Passo 4

Calcular a variação de entropia na etapa de resfriamento do gelo de T_2=273{,}15\\ \mathrm{K} até T_1=268{,}15\\ \mathrm{K}:
\Delta S_3 = m\,c_s\,\ln\!\biggl(\frac{T_1}{T_2}\biggr) =0{,}001\cdot2220\;\ln\!\Bigl(\frac{268{,}15}{273{,}15}\Bigr) \approx0{,}001\cdot2220\cdot(-0{,}01845) \approx -0{,}0410\\ \mathrm{J/K}.

Passo 5

Somar as três contribuições para obter a variação total de entropia da gota:
\Delta S =\Delta S_1+\Delta S_2+\Delta S_3 \approx0{,}0774 -1{,}222 -0{,}0410 \approx -1{,}1856\\ \mathrm{J/K}.

Resposta

A variação de entropia da gota ao congelar é aproximadamente
\Delta S \approx -1{,}19\\ \mathrm{J/K}.

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