1.19 Prove que a equação
tem ao menos uma raiz real. Encontre um intervalo de comprimento
que contém uma raiz da equação dada.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação
tem pelo menos uma raiz real e encontrar um intervalo de comprimento
que a contenha. Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que exige verificar a continuidade de uma função e achar pontos com valores de sinais opostos. Definimos
Passo 2
Primeiro, observamos que o denominador
é sempre positivo, logo
é contínua em todo
. Além disso,
Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz real de
.
Passo 3
Para localizar um intervalo de comprimento
com uma raiz, calculamos
e
Passo 4
Como
e
, pela continuidade existe pelo menos uma raiz em
. Esse intervalo tem comprimento
Resposta
O intervalo de comprimento
que contém uma raiz é
.