1.19 Prove que a equação x^3-11+x^4=0 tem ao menos uma raiz real. Encontre um intervalo de comprimento 12 que contém uma raiz da equação dada.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação
x^3-11+x^4=0
tem pelo menos uma raiz real e encontrar um intervalo de comprimento tfrac12 que a contenha. Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que exige verificar a continuidade de uma função e achar pontos com valores de sinais opostos. Definimos
f(x)=x^3-11+x^4

Passo 2

Primeiro, observamos que o denominador 1+x^4 é sempre positivo, logo f é contínua em todo R. Além disso,
limxto -inftyf(x)= -infty e limxto +inftyf(x)= +infty
Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz real de f(x)=0.

Passo 3

Para localizar um intervalo de comprimento tfrac12 com uma raiz, calculamos
fl(tfrac12r)=l(tfrac12r)^3-11+(tfrac12)^4 =tfrac18-11+tfrac116 =tfrac18-1617 =-tfrac111136<0
e
f(1)=1^3-11+1^4 =1-tfrac12 =tfrac12>0

Passo 4

Como f(tfrac12)<0 e f(1)>0, pela continuidade existe pelo menos uma raiz em [tfrac12,1]. Esse intervalo tem comprimento
1-tfrac12=tfrac12

Resposta

O intervalo de comprimento tfrac12 que contém uma raiz é [tfrac12,1].

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