1.21 Considere definida por para . Existe algum valor de tal que seja contínua?
Passo 1
O enunciado define a função
e pergunta se existe que torne contínua em toda parte. O ponto crítico é , pois para a composição de senos é contínua. Para garantir continuidade em precisamos que
Passo 2
Vamos calcular
Note que para todo vale
Passo 3
Sabemos também que para todo x
|sin x|<=|x|
Logo, para xneq0,
l|sin x;sinl(tfrac1xr)r|<=|x|
Pelo Teorema do Confronto (Squeeze), como limxto0|x|=0, segue que
limxto0sin x;sinl(tfrac1xr)=0
Passo 4
Para f ser contínua em 0 precisamos de
b=f(0)=limxto0f(x)=0
Resposta
O único valor de b que torna f contínua em R é b=0.