1.21 Considere f: R R definida por f(x)=sin x sin (1x) para x neq 0, f(0)=b. Existe algum valor de b in R tal que f seja contínua?

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= sin x ,sinl(tfrac1xr),&xneq0, b,&x=0,
e pergunta se existe binR que torne f contínua em toda parte. O ponto crítico é x=0, pois para xneq0 a composição de senos é contínua. Para garantir continuidade em 0 precisamos que
limxto0f(x)=f(0)=b

Passo 2

Vamos calcular
L=limxto0sin x;sinl(tfrac1xr)
Note que para todo xneq0 vale
l|sin x;sinl(tfrac1xr)r| ;=;|sin x|;|sinl(tfrac1xr)| ;<=;|sin x|;cdot1 ;=;|sin x|

Passo 3

Sabemos também que para todo x
|sin x|<=|x|
Logo, para xneq0,
l|sin x;sinl(tfrac1xr)r|<=|x|
Pelo Teorema do Confronto (Squeeze), como limxto0|x|=0, segue que
limxto0sin x;sinl(tfrac1xr)=0

Passo 4

Para f ser contínua em 0 precisamos de
b=f(0)=limxto0f(x)=0

Resposta

O único valor de b que torna f contínua em R é b=0.

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