1.20 Considere f: R R definida por f(x)=sin (1x) para x neq 0, f(0)=b. Existe algum valor de b in R tal que f seja contínua?

Passo 1

O enunciado define uma função fcolonRtoR por
f(x)=sin!l(1/xr)(xneq0),
e f(0)=b. O conteúdo é continuidade de função, e vamos investigar em xneq0 e em x=0.

Passo 2

Para xneq0, a função xmapsto1/x é contínua e sin é contínua, logo a composição xmapstosin(1/x) é contínua em todo ponto xneq0. Assim, não precisamos ajustar b para garantir continuidade fora de 0.

Passo 3

Para verificar continuidade em 0, precisamos que
limxto0f(x)=limxto0sin!l(1/xr)
exista e seja igual a f(0)=b. Vamos mostrar que esse limite não existe.

Passo 4

Considere as duas sequências de pontos que tendem a zero:
xn^+ = 12npi+pi2, xn^- = 12npi+3pi2,
para n=1,2,3,dots. Então
sin!l(1/xn^+r)=sin!l(2npi+tfracpi2r)=1, sin!l(1/xn^-r)=sin!l(2npi+tfrac3pi2r)=-1
Isso mostra que os valores de sin(1/x) oscilam entre 1 e -1 ao nos aproximarmos de zero, de modo que
limsupxto0sin!l(1/xr)=1, liminfxto0sin!l(1/xr)=-1,
e portanto limxto0sin(1/x) não existe.

Passo 5

Como limxto0f(x) não existe, não há forma de escolher b=f(0) para satisfazer
limxto0f(x)=b. Logo f não pode ser contínua em 0 para nenhum binR.

Resposta

Não existe valor de b que torne f contínua em todo R.

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