3.21 Qual é o valor equivalente no ano 5 da seguinte série de recebimentos e desembolsos, considerando uma taxa de juros de 12 \% ao ano?
Ano
Receita, $
Despesas, $
0
0
9.000
1-5
6.000
6.000
6-8
6.000
3.000
9-14
8.000
5.000
Passo 1
O enunciado pede: calcular o valor equivalente no ano {5} da série de recibos e despesas dada, com taxa de juros de {12\%} ao ano. Dados fornecidos (peguei os valores da tabela do enunciado):
Pergunta explícita: qual o valor equivalente, em reais, no instante {t=5}, da série inteira, usando taxa {i=12\%} ao ano?
Passo 2
Primeiro vamos transformar a tabela em fluxos líquidos por ano (receitas positivas, despesas negativas). Subtraindo despesas de receitas para cada faixa:
Ano {0}: só despesa de \$9.000 → fluxo {-9.000} em {t=0}.
Anos {1} a {5}: receita \$6.000 e despesa \$6.000 → fluxo líquido {0} em cada um desses anos.
Anos {6} a {8}: receita \$6.000 e despesa \$3.000 → fluxo líquido \$3.000 em {t=6,7,8}.
Anos {9} a {14}: receita \$8.000 e despesa \$5.000 → fluxo líquido \$3.000 em {t=9,10,11,12,13,14}.
Resumo dos fluxos líquidos que importam para o cálculo do valor em {t=5}:
Juros compostos: um valor \text{PV} aplicado por n anos a uma taxa \,i vai valer no futuro
\text{FV}=\text{PV}\,(1+i)^n.
Para trazer (descontar) um valor futuro \text{FV} ao tempo anterior por n anos:
\text{PV}=\frac{\text{FV}}{(1+i)^n}.
Soma de pagamentos periódicos (anuidade imediata): se você tem pagamentos \,A em \,n anos (cada um no final de cada período), o valor presente no instante imediatamente antes do primeiro pagamento é
Essas fórmulas são tudo que precisamos: trazemos todos os fluxos ao instante {t=5} (ou, equivalentemente, fazemos crescer os mais prontos até {t=5}) e somamos.
Passo 4
Calcular contribuição do fluxo em {t=0} no instante {t=5}. Esse valor é uma única saída em {t=0} que cresce 5 anos a {12\%}:
Contribuição dos fluxos em {t=6,7,8} no instante {t=5}.
Esses são três pagamentos iguais \,A=3.000 ocorrendo em {t=6,7,8}. Relativamente a {t=5} eles são um anuidade imediata de n=3 pagamentos (primeiro pagamento 1 ano após {t=5}). O valor no instante {t=5} é, usando a fórmula da anuidade:
Contribuição dos fluxos em {t=9,\dots,14} no instante {t=5}.
São \,6 pagamentos iguais \,A=3.000 em {t=9,10,11,12,13,14}. Relativamente a {t=5} o primeiro desses ocorre em 4 anos após {t=5}. Uma forma prática: descontamos a série inteira como anuidade de n=6 e depois multiplicamos por v^3 (ou seja, trazemos o início até {t=5}). Mais direto: