3.21 Qual é o valor equivalente no ano 5 da seguinte série de recebimentos e desembolsos, considerando uma taxa de juros de 12 \% ao ano?
Ano Receita, $ Despesas, $
0 0 9.000
1-5 6.000 6.000
6-8 6.000 3.000
9-14 8.000 5.000

Passo 1

O enunciado pede: calcular o valor equivalente no ano {5} da série de recibos e despesas dada, com taxa de juros de {12\%} ao ano. Dados fornecidos (peguei os valores da tabela do enunciado):
\begin{array}{ccc} \text{Ano} & \text{Receita, \$} & \text{Despesa, \$} \\\\ 0 & 0 & 9.000 \\\\ 1\text{--}5 & 6.000 & 6.000 \\\\ 6\text{--}8 & 6.000 & 3.000 \\\\ 9\text{--}14 & 8.000 & 5.000 \end{array}
Pergunta explícita: qual o valor equivalente, em reais, no instante {t=5}, da série inteira, usando taxa {i=12\%} ao ano?

Passo 2

Primeiro vamos transformar a tabela em fluxos líquidos por ano (receitas positivas, despesas negativas). Subtraindo despesas de receitas para cada faixa:
  • Ano {0}: só despesa de \$9.000 → fluxo {-9.000} em {t=0}.
  • Anos {1} a {5}: receita \$6.000 e despesa \$6.000 → fluxo líquido {0} em cada um desses anos.
  • Anos {6} a {8}: receita \$6.000 e despesa \$3.000 → fluxo líquido \$3.000 em {t=6,7,8}.
  • Anos {9} a {14}: receita \$8.000 e despesa \$5.000 → fluxo líquido \$3.000 em {t=9,10,11,12,13,14}.
Resumo dos fluxos líquidos que importam para o cálculo do valor em {t=5}:
\begin{cases} t=0: & -9.000,\\\ t=1,\dots,5: & 0,\\\ t=6,7,8: & +3.000\\ (\text{cada ano}),\\\ t=9,\dots,14: & +3.000\\ (\text{cada ano}). \end{cases}

Passo 3

Agora a teoria rápida e necessária (mastigada):
  • Juros compostos: um valor \text{PV} aplicado por n anos a uma taxa \,i vai valer no futuro
\text{FV}=\text{PV}\,(1+i)^n.
  • Para trazer (descontar) um valor futuro \text{FV} ao tempo anterior por n anos:
\text{PV}=\frac{\text{FV}}{(1+i)^n}.
  • Soma de pagamentos periódicos (anuidade imediata): se você tem pagamentos \,A em \,n anos (cada um no final de cada período), o valor presente no instante imediatamente antes do primeiro pagamento é
\sum_{k=1}^{n}\frac{A}{(1+i)^k}=A\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
Essas fórmulas são tudo que precisamos: trazemos todos os fluxos ao instante {t=5} (ou, equivalentemente, fazemos crescer os mais prontos até {t=5}) e somamos.

Passo 4

Calcular contribuição do fluxo em {t=0} no instante {t=5}. Esse valor é uma única saída em {t=0} que cresce 5 anos a {12\%}:
\text{FV}_{t=5\leftarrow t=0} = -9.000\cdot(1+0{,}12)^5.
Vamos calcular as potências necessárias (valores exatos intermediários):
(1{,}12)^1=1{,}12,\quad (1{,}12)^2=1{,}2544,\quad (1{,}12)^3=1{,}404928,
(1{,}12)^4=1{,}57351936,\quad (1{,}12)^5=1{,}7623416832.
Portanto
\text{FV}_{t=5\leftarrow t=0} = -9.000\cdot 1{,}7623416832 = -15.861{,}0751488.

Passo 5

Contribuição dos fluxos em {t=6,7,8} no instante {t=5}.
Esses são três pagamentos iguais \,A=3.000 ocorrendo em {t=6,7,8}. Relativamente a {t=5} eles são um anuidade imediata de n=3 pagamentos (primeiro pagamento 1 ano após {t=5}). O valor no instante {t=5} é, usando a fórmula da anuidade:
\text{Valor}_{6\text{--}8\\ \text{no }t=5} =3.000\cdot\frac{1-(1+0{,}12)^{-3}}{0{,}12}.
Calculemos:
(1+0{,}12)^{-3}=\frac{1}{1{,}404928}\approx 0{,}711780249,
1-(1+0{,}12)^{-3}\approx 0{,}288219751,
\frac{0{,}288219751}{0{,}12}\approx 2{,}401831258,
\text{Logo } \text{Valor}_{6\text{--}8\\ \text{no }t=5}\approx 3.000\cdot2{,}401831258=7.205{,}493774.

Passo 6

Contribuição dos fluxos em {t=9,\dots,14} no instante {t=5}.
São \,6 pagamentos iguais \,A=3.000 em {t=9,10,11,12,13,14}. Relativamente a {t=5} o primeiro desses ocorre em 4 anos após {t=5}. Uma forma prática: descontamos a série inteira como anuidade de n=6 e depois multiplicamos por v^3 (ou seja, trazemos o início até {t=5}). Mais direto:
\text{Valor}_{9\text{--}14\\ \text{no }t=5} =3.000\cdot(1+0{,}12)^{-3}\cdot\frac{1-(1+0{,}12)^{-6}}{0{,}12}.
Já sabemos (1+0{,}12)^{-3}\approx 0{,}711780249. Calculamos (1+0{,}12)^{-6} usando (1+0{,}12)^{6}\approx 1{,}973822685184, então
(1+0{,}12)^{-6}\approx \frac{1}{1{,}973822685184}\approx 0{,}506634\\ (\text{aprox.}).
Logo
1-(1+0{,}12)^{-6}\approx 0{,}493366,
\frac{1-(1+0{,}12)^{-6}}{0{,}12}\approx 4{,}111383333,
\text{Valor}_{9\text{--}14\\ \text{no }t=5}\approx 3.000\cdot0{,}711780249\cdot4{,}111383333.
Multiplicando:
0{,}711780249\cdot4{,}111383333\approx 2{,}926400,
\text{Logo } \text{Valor}_{9\text{--}14\\ \text{no }t=5}\approx 3.000\cdot2{,}9264=8.779{,}2.

Passo 7

Somamos todas as contribuições no instante {t=5}:
\text{Valor}_{t=5} = \text{FV}_{t=5\leftarrow t=0} + \text{Valor}_{6\text{--}8\\ \text{no }t=5} + \text{Valor}_{9\text{--}14\\ \text{no }t=5}.
Substituindo os números aproximados obtidos:
\text{Valor}_{t=5} \approx -15.861{,}0751488 + 7.205{,}493774 + 8.779{,}2.
Fazendo a soma:
\text{Valor}_{t=5} \approx 123{,}6186252.
Arredondando para centavos: \$123{,}62.

Resposta

\$123{,}62

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