20 (M) Resolva: frac{d y}{d x}=\frac{e^{x}}{1+y^{2}}.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=\frac{e^{x}}{1+y^{2}}
e pede para resolver — ou seja, encontrar a família de soluções y(x).
Informações relevantes: a equação relaciona a derivada de y com uma função de x e y. Não foi dada nenhuma condição inicial, então vamos procurar a solução geral com uma constante de integração.

Passo 2

Observação útil (sem resolver ainda): a equação permite separar as variáveis x e y — queremos manipular a equação para ficar com termos envolvendo apenas y multiplicando dy de um lado e termos envolvendo apenas x multiplicando dx do outro, porque aí podemos integrar cada lado em sua variável. Não vou pular passos: multiplico ambos os lados por 1+y^{2} e por dx para obter as diferencas separadas:
(1+y^{2})\,dy = e^{x}\,dx.
Isto é legal porque estamos simplesmente reescrevendo \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{e^{x}}{1+y^{2}} como um produto diferencial, assumindo y diferenciável.

Passo 3

Agora integramos os dois lados — cada lado em sua variável. Escrevo explicitamente as integrais:
\int (1+y^{2})\,dy = \int e^{x}\,dx.
Vou calcular cada integral separadamente e explicar as regras usadas:
  • A integral de 1 em relação a y é \int 1\,dy = y, porque a derivada de y é 1.
  • A integral de y^{2} em relação a y é \int y^{2}\,dy = \frac{y^{3}}{3}, pela regra da potência \int y^{n}\,dy = \frac{y^{n+1}}{n+1} quando n\neq -1.
  • A integral de e^{x} em relação a x é \int e^{x}\,dx = e^{x}, pois e^{x} é sua própria derivada.
Portanto, integrando:
y + \frac{y^{3}}{3} = e^{x} + C,
onde C é a constante de integração (basta uma constante porque integrámos os dois lados uma vez).

Passo 4

Podemos reorganizar a solução implícita de formas equivalentes. Por exemplo:
y + \frac{y^{3}}{3} - e^{x} = C.
Essa é a forma geral implícita da família de soluções. Em geral, para equações como esta é aceitável deixar a solução dessa forma porque resolver explicitamente para y exige resolver uma equação cúbica em y, o que não é necessário nem prático na maioria das provas.

Passo 5

Verificação rápida (para ficar seguro): diferencio implicitamente a expressão obtida para confirmar que recupero a equação original. Diferenciando
y + \frac{y^{3}}{3} = e^{x} + C
em relação a x, o lado esquerdo dá
\frac{d}{dx}\!\left(y + \frac{y^{3}}{3}\right) = y' + y^{2}y' = y'(1+y^{2}),
e o lado direito dá \frac{d}{dx}(e^{x}+C)=e^{x}. Igualando:
y'(1+y^{2}) = e^{x}\quad\Rightarrow\quad y' = \frac{e^{x}}{1+y^{2}},
que é exatamente a equação dada — portanto a solução está correta.

Passo 6

Observações finais rápidas e motivação: não existem soluções constantes y(x)=y_{0} porque isso exigiria 0=\dfrac{e^{x}}{1+y_{0}^{2}}, impossível já que e^{x}>0. A constante C pode ser qualquer número real e determina a curva específica da família. Em provas, a forma implícita
y + \frac{y^{3}}{3} = e^{x} + C
é a resposta esperada salvo se pedirem explicitamente a solução y(x) isolada (caso raro).

Resposta

y + \frac{y^{3}}{3} = e^{x} + C

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