20 (M) Resolva:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para resolver — ou seja, encontrar a família de soluções
.
Informações relevantes: a equação relaciona a derivada de com uma função de
e
. Não foi dada nenhuma condição inicial, então vamos procurar a solução geral com uma constante de integração.
Informações relevantes: a equação relaciona a derivada de
Passo 2
Observação útil (sem resolver ainda): a equação permite separar as variáveis
e
— queremos manipular a equação para ficar com termos envolvendo apenas
multiplicando
de um lado e termos envolvendo apenas
multiplicando
do outro, porque aí podemos integrar cada lado em sua variável. Não vou pular passos: multiplico ambos os lados por
e por
para obter as diferencas separadas:
Isto é legal porque estamos simplesmente reescrevendo
como um produto diferencial, assumindo
diferenciável.
Passo 3
Agora integramos os dois lados — cada lado em sua variável. Escrevo explicitamente as integrais:
Vou calcular cada integral separadamente e explicar as regras usadas:
- A integral de
em relação a é , porque a derivada de é . - A integral de
em relação a é , pela regra da potência quando . - A integral de
em relação a é , pois é sua própria derivada.
Portanto, integrando:
onde
é a constante de integração (basta uma constante porque integrámos os dois lados uma vez).
Passo 4
Podemos reorganizar a solução implícita de formas equivalentes. Por exemplo:
Essa é a forma geral implícita da família de soluções. Em geral, para equações como esta é aceitável deixar a solução dessa forma porque resolver explicitamente para
exige resolver uma equação cúbica em
, o que não é necessário nem prático na maioria das provas.
Passo 5
Verificação rápida (para ficar seguro): diferencio implicitamente a expressão obtida para confirmar que recupero a equação original. Diferenciando
em relação a
, o lado esquerdo dá
e o lado direito dá
. Igualando:
que é exatamente a equação dada — portanto a solução está correta.
Passo 6
Observações finais rápidas e motivação: não existem soluções constantes
porque isso exigiria
, impossível já que
. A constante
pode ser qualquer número real e determina a curva específica da família. Em provas, a forma implícita
é a resposta esperada salvo se pedirem explicitamente a solução
isolada (caso raro).