Sejam as circunferências \mathrm{C}_{1}, de centro (2,0) e raio 2 , e \mathrm{C}_{2}, de centro (0,1) e raio 1 . Determine os pontos que pertencem a C_{1} e a C_{2} simultaneamente.
(A) (0,1) e (3 / 5,3 / 5).
(B) (0,0) e (1 / 5,8 / 5).
(C) (1,0) e (3 / 5,7 / 5).
(D) (0,0) e (4 / 5,8 / 5).
(E) (0,1) e (1 / 5,8 / 5).

Passo 1

O enunciado dá duas circunferências e pede os pontos que pertencem a ambas simultaneamente. Informações fornecidas:
  • Circunferência \mathrm{C}_{1}: centro (2,0) e raio 2.
  • Circunferência \mathrm{C}_{2}: centro (0,1) e raio 1.
Pergunta do enunciado: determinar os pontos que pertencem simultaneamente a \mathrm{C}_{1} e \mathrm{C}_{2} (ou seja, a interseção \mathrm{C}_{1}\cap\mathrm{C}_{2}) — entre as alternativas (A) a (E).

Passo 2

Escrever as equações das duas circunferências. Lembrete rápido: a equação canônica de uma circunferência de centro (h,k) e raio r é
(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2},
onde x e y são as coordenadas genéricas de um ponto qualquer sobre a circunferência.
Aplicando para cada uma:
\mathrm{C}_{1}:\\ (x-2)^{2}+y^{2}=2^{2}\quad\Rightarrow\quad (x-2)^{2}+y^{2}=4,
\mathrm{C}_{2}:\\ x^{2}+(y-1)^{2}=1^{2}\quad\Rightarrow\quad x^{2}+(y-1)^{2}=1.

Passo 3

Eliminar termos quadráticos subtraindo as equações para obter uma relação linear entre x e y. Primeiro expandir parcialmente (ou levar as igualdades a uma forma conveniente):
Expandindo \mathrm{C}_{1}:
(x-2)^{2}+y^{2}=x^{2}-4x+4+y^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad x^{2}+y^{2}-4x=0.
Expandindo \mathrm{C}_{2}:
x^{2}+(y-1)^{2}=x^{2}+y^{2}-2y+1=1 \quad\Rightarrow\quad x^{2}+y^{2}-2y=0.
Agora subtrair a segunda igualdade da primeira (ou vice-versa) para cancelar x^{2}+y^{2}:
\bigl(x^{2}+y^{2}-2y\bigr)-\bigl(x^{2}+y^{2}-4x\bigr)=0-0
-2y+4x=0.
Simplificando:
4x-2y=0\quad\Rightarrow\quad 2x-y=0\quad\Rightarrow\quad y=2x.
Comentário didático: esse passo é padrão em interseção de círculos — subtrair as equações elimina os termos quadráticos x^{2}+y^{2}, dando uma reta (o eixo radical); a interseção das circunferências está sobre essa reta.

Passo 4

Substituir y=2x em uma das equações (uso \mathrm{C}_{2}, que é mais simples) e resolver para x. Substituição:
x^{2}+(y-1)^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad x^{2}+(2x-1)^{2}=1.
Expandir e resolver:
x^{2}+(4x^{2}-4x+1)=1 \quad\Rightarrow\quad 5x^{2}-4x+1=1.
Subtrair 1 dos dois lados:
5x^{2}-4x=0.
Fatorar:
x(5x-4)=0.
Logo as soluções para x são
x=0 \quad\text{ou}\quad x=\frac{4}{5}.

Passo 5

Determinar os correspondentes y usando y=2x:
  • Para x=0: y=2\cdot0=0. Ponto \,(0,0).
  • Para x=\dfrac{4}{5}: y=2\cdot\dfrac{4}{5}=\dfrac{8}{5}. Ponto \,\bigl(\tfrac{4}{5},\tfrac{8}{5}\bigr).
Verificação rápida (importante na prova): testar se esses pontos realmente satisfazem ambas as equações.
Para \,(0,0):
\mathrm{C}_{1}:\\ (0-2)^{2}+0^{2}=4\quad\checkmark,
\mathrm{C}_{2}:\\\ 0^{2}+(0-1)^{2}=1\quad\checkmark.
Para \,\bigl(\tfrac{4}{5},\tfrac{8}{5}\bigr):
\mathrm{C}_{1}:\\ \bigl(\tfrac{4}{5}-2\bigr)^{2}+\bigl(\tfrac{8}{5}\bigr)^{2}=\bigl(-\tfrac{6}{5}\bigr)^{2}+\tfrac{64}{25}=\tfrac{36}{25}+\tfrac{64}{25}=\tfrac{100}{25}=4\quad\checkmark,
\mathrm{C}_{2}:\\ \bigl(\tfrac{4}{5}\bigr)^{2}+\bigl(\tfrac{8}{5}-1\bigr)^{2}=\tfrac{16}{25}+\bigl(\tfrac{3}{5}\bigr)^{2}=\tfrac{16}{25}+\tfrac{9}{25}=\tfrac{25}{25}=1\quad\checkmark.
Ambos pertencem às duas circunferências.

Passo 6

Comparar os pontos encontrados com as alternativas dadas. A alternativa que apresenta (0,0) e \bigl(\tfrac{4}{5},\tfrac{8}{5}\bigr) é a alternativa (D).

Resposta

(D)

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