Sejam as circunferências
, de centro
e raio 2 , e
, de centro
e raio 1 . Determine os pontos que pertencem a
e a
simultaneamente.
(A)
e
.
(B)
e
.
(C)
e
.
(D)
e
.
(E)
e
.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado dá duas circunferências e pede os pontos que pertencem a ambas simultaneamente. Informações fornecidas:
- Circunferência
: centro e raio . - Circunferência
: centro e raio .
Pergunta do enunciado: determinar os pontos que pertencem simultaneamente a
e
(ou seja, a interseção
) — entre as alternativas (A) a (E).
Passo 2
Escrever as equações das duas circunferências. Lembrete rápido: a equação canônica de uma circunferência de centro
e raio
é
onde
e
são as coordenadas genéricas de um ponto qualquer sobre a circunferência.
Aplicando para cada uma:
Passo 3
Eliminar termos quadráticos subtraindo as equações para obter uma relação linear entre
e
. Primeiro expandir parcialmente (ou levar as igualdades a uma forma conveniente):
Expandindo
:
Expandindo
:
Agora subtrair a segunda igualdade da primeira (ou vice-versa) para cancelar
:
Simplificando:
Comentário didático: esse passo é padrão em interseção de círculos — subtrair as equações elimina os termos quadráticos
, dando uma reta (o eixo radical); a interseção das circunferências está sobre essa reta.
Passo 4
Substituir
em uma das equações (uso
, que é mais simples) e resolver para
. Substituição:
Expandir e resolver:
Subtrair
dos dois lados:
Fatorar:
Logo as soluções para
são
Passo 5
Determinar os correspondentes
usando
:
- Para
: . Ponto . - Para
: . Ponto .
Verificação rápida (importante na prova): testar se esses pontos realmente satisfazem ambas as equações.
Para
:
Para
:
Ambos pertencem às duas circunferências.
Passo 6
Comparar os pontos encontrados com as alternativas dadas. A alternativa que apresenta
e
é a alternativa (D).
Resposta
(D)