19 { }^{\underline{a}} Questão: Um oscilador harmônico simples no ponto x=0 gera uma onda em uma corda. O oscilador opera em uma freqüência de 40,0 \mathrm{~Hz} e com uma amplitude de 3,0 \mathrm{~cm}. A corda possui uma densidade linear de 50,0 \mathrm{~g} / \mathrm{m} e está esticada a uma tensão de 5,0 \mathrm{~N}. a) Determine a velocidade da onda. b) Calcule o comprimento de onda. c) Escreva a função de onda dessa onda. Suponha que o oscilador tenha o seu deslocamento máximo para cima no tempo \mathrm{t}=0. d) Calcule a aceleração transversal máxima dos pontos na corda. e) Quando tratamos das ondas transversais neste capítulo, a força da gravidade foi ignorada. Essa aproximação é razoável para essa onda? Explique.

Passo 1

O enunciado descreve uma corda com densidade linear \mu=50{,}0\\ \mathrm{g/m}=0{,}050\\ \mathrm{kg/m} sob tensão T=5{,}0\\ \mathrm{N}, na qual um oscilador harmônico em x=0 gera uma onda de frequência f=40{,}0\\ \mathrm{Hz} e amplitude A=3{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}03\\ \mathrm{m}. Precisamos determinar:
a) velocidade de propagação v;
b) comprimento de onda \lambda;
c) função de onda y(x,t) assumindo deslocamento máximo para cima em t=0;
d) aceleração transversal máxima;
e) se é razoável ignorar a gravidade.

Passo 2

A velocidade de uma onda numa corda é dada por
v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}.
Substituindo T=5{,}0\\ \mathrm{N} e \mu=0{,}050\\ \mathrm{kg/m},
v = \sqrt{\frac{5{,}0}{0{,}050}} = \sqrt{100} = 10\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

O comprimento de onda satisfaz
\lambda = \frac{v}{f}.
Logo, com v=10\\ \mathrm{m/s} e f=40{,}0\\ \mathrm{Hz},
\lambda = \frac{10}{40{,}0} = 0{,}25\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Para a função de onda progressiva em +x usamos
y(x,t) = A\,\sin\bigl(kx - \omega t + \varphi\bigr),
com k = \frac{2\pi}{\lambda} e \omega = 2\pi f. Assim,
k = \frac{2\pi}{0{,}25} = 8\pi\\ \mathrm{rad/m},\quad \omega = 2\pi\cdot40{,}0 = 80\pi\\ \mathrm{rad/s}.
Como em t=0 e x=0 o deslocamento é máximo para cima, temos
y(0,0)=A\sin\varphi=+A\implies \varphi=\tfrac{\pi}{2}.
Portanto
y(x,t) = 0{,}03\,\sin\bigl(8\pi\,x - 80\pi\,t + \tfrac{\pi}{2}\bigr)
que equivale a
y(x,t) = 0{,}03\,\cos\bigl(8\pi\,x - 80\pi\,t\bigr).

Passo 5

A aceleração transversal é a_y=\partial^2 y/\partial t^2. O máximo ocorre quando \sin ou \cos valem unidade, e
a_{\max} = A\,\omega^2 = 0{,}03\,(80\pi)^2.
Como (80\pi)^2\approx6,32\times10^4,
a_{\max}\approx0{,}03\times6,32\times10^4 = 1,90\times10^3\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 6

A força peso por comprimento é \mu g\approx0{,}050\times9{,}8=0{,}49\\ \mathrm{N/m}, muito menor que a tensão T=5{,}0\\ \mathrm{N} e também desprezível ante as forças inerciais ( \mu a_{\max}\approx0{,}05\times1900=95\\ \mathrm{N/m}). Logo, é razoável ignorar a gravidade.

Resposta

a) v=10\\ \mathrm{m/s}
b) \lambda=0{,}25\\ \mathrm{m}
c) y(x,t)=0{,}03\sin\bigl(8\pi x-80\pi t+\tfrac{\pi}{2}\bigr) (ou 0{,}03\cos(8\pi x-80\pi t))
d) a_{\max}\approx1{,}9\times10^3\\ \mathrm{m/s^2}
e) Sim, pois \mu g é muito menor que as forças de tensão e inerciais, tornando o efeito da gravidade desprezível.

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