Questão: Uma onda transversal em uma corda é descrita pela função de onda y(x, t)=0.120 \sin \left(\frac{\pi}{8} x+4 \pi t\right), onde x e y estão dados em metros e t em segundos. Determine
a velocidade transversal

Passo 1

O enunciado dá a função de onda transversal de uma corda
y(x,t)=0{,}120 \,\sin\!\Bigl(\tfrac{\pi}{8}x + 4\pi t\Bigr)
com x e y em metros e t em segundos, e pede a velocidade transversal da corda. Para isso, vamos usar que a velocidade transversal v_y é a derivada parcial de y em relação a t:
v_y(x,t)=\frac{\partial y}{\partial t}.

Passo 2

Aplicamos a derivada em relação a t na expressão de y(x,t). Como \sin(u) deriva para \cos(u) vezes du/dt, temos
\frac{\partial}{\partial t}\bigl[\sin(u)\bigr]=\cos(u)\,\frac{du}{dt}.
Aqui u=\tfrac{\pi}{8}x + 4\pi t, e du/dt=4\pi, pois \tfrac{\pi}{8}x é constante em t.

Passo 3

Portanto,
v_y(x,t) =\frac{\partial y}{\partial t} =0{,}120\;\cos\!\Bigl(\tfrac{\pi}{8}x + 4\pi t\Bigr)\;\times 4\pi.

Passo 4

Reunindo constantes, obtemos
v_y(x,t) =0{,}480\pi\;\cos\!\Bigl(\tfrac{\pi}{8}x + 4\pi t\Bigr) \quad\bigl[\text{m/s}\bigr].
A velocidade transversal máxima (amplitude) é
v_{y,\max}=0{,}480\pi\text{ m/s}\approx1{,}51\text{ m/s}.

Resposta

v_y(x,t) =0{,}480\pi\;\cos\!\Bigl(\tfrac{\pi}{8}x + 4\pi t\Bigr)\text{ m/s},
com velocidade máxima v_{y,\max}=0{,}480\pi\approx1{,}51 m/s.

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