(CN 1975) Um composto A leva 20 \% de álcool e 80 \% de gasolina e um composto B leva 30 \% de álcool e 70 \% de gasolina. Quantos litros devemos tomar do composto A para, complementando com o composto B, preparar 5 litros de um composto com 22% álcool e 78% de gasolina?
a) 2 litros
b) 3 litros
c) 2,5 litros
d) 3,5 litros

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • O composto A tem 20\% de álcool e 80\% de gasolina.
  • O composto B tem 30\% de álcool e 70\% de gasolina.
  • Queremos preparar 5 litros de um composto final com 22\% de álcool e 78\% de gasolina.
    A pergunta é: quantos litros do composto A devemos tomar, completando com B, para obter esses 5 litros com 22\% de álcool?

Passo 2

Vamos escolher uma incógnita clara e simples. Seja x o número de litros do composto A que vamos usar. Como o total deve ser 5 litros, a quantidade do composto B será 5-x litros (complemento).
Agora vamos transformar as porcentagens em frações decimais para trabalhar com quantidades de álcool em litros:
  • 20\% corresponde a 0,20.
  • 30\% corresponde a 0,30.
  • 22\% corresponde a 0,22.

Passo 3

Escrevendo a equação da conservação da quantidade de álcool (álcool total vindo de A mais álcool total vindo de B deve ser igual ao álcool total desejado):
  • álcool fornecido por A: 0,20\cdot x (litros),
  • álcool fornecido por B: 0,30\cdot(5-x) (litros),
  • álcool desejado no total: 0,22\cdot 5 (litros).
    Montamos a equação:
0,20\cdot x + 0,30\cdot(5-x) = 0,22\cdot 5

Passo 4

Vamos resolver a equação passo a passo, explicando cada operação:
Primeiro expandir o segundo termo e calcular o lado direito:
0,20x + 0,30\cdot 5 - 0,30x = 0,22\cdot 5
0,20x + 1,50 - 0,30x = 1,10
Agora somar os termos semelhantes em x:
(0,20x - 0,30x) + 1,50 = 1,10
-0,10x + 1,50 = 1,10
Subtrair 1,50 dos dois lados:
-0,10x = 1,10 - 1,50
-0,10x = -0,40
Dividir ambos os lados por -0,10:
x = \dfrac{-0,40}{-0,10} = 4

Passo 5

Interpretação do resultado e verificação rápida (sempre bom conferir na prova):
  • Quantidade de A: x=4 litros.
  • Quantidade de B: 5-x = 1 litro.
    Verificando álcool total:
\text{álcool de }A = 0,20\cdot 4 = 0,80\\ \text{L}á
\text{álcool de }B = 0,30\cdot 1 = 0,30\\ \text{L}á
\text{álcool total} = 0,80 + 0,30 = 1,10\\ \text{L}á
E 1,10\\ \text{L} é exatamente 0,22\cdot 5, ou seja 22\% de 5 litros. Está correto.

Passo 6

Método alternativo (alligation) — uma forma rápida e útil em prova:
  • Colocar os teores de álcool: A:20, alvo 22, B:30.
  • Fazer as diferenças absolutas: 30-22=8 e 22-20=2.
  • Razão A:B = 8:2 = 4:1.
    Como o total é 5 partes, A fica com 4 partes \Rightarrow 4 litros, B com 1 parte \Rightarrow 1 litro. Dá o mesmo resultado e é bem prático na prova.

Passo 7

Observação sobre as alternativas fornecidas: a resposta correta encontrada é 4 litros, que não aparece entre as opções 2, 3, 2,5 ou 3,5. Portanto, nenhuma das alternativas listadas está correta; a solução correta é 4 litros.

Resposta

4 litros

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