(CN 1976) Um recipiente é dotado de duas torneiras. A primeira torneira esvazia-o em um tempo inferior a outra em 30 minutos. Sabendo que as duas torneiras juntas esvaziam o recipiente em 20 minutos, determine em quanto tempo a primeira torneira esvazia
do recipiente.
a) 18 minutos
b) 30 minutos
c) 15 minutos
d) 20 minutos
a) 18 minutos
b) 30 minutos
c) 15 minutos
d) 20 minutos
Passo 1
Enunciado e o que é pedido (peguei estes dados do enunciado):
- Há duas torneiras que esvaziam o mesmo recipiente.
- A primeira torneira esvazia o recipiente em um tempo inferior ao da segunda em
minutos. - As duas juntas esvaziam o recipiente em
minutos.
O enunciado pede: determinar em quanto tempo a primeira torneira esvaziado recipiente.
Passo 2
Modelagem por taxas (ideia e linguagem simples):
- Se uma torneira esvazia um recipiente em
minutos, a “taxa” dela é a fração do recipiente esvaziada por minuto, que é (uma parte por minuto). - Quando duas torneiras trabalham juntas, as frações esvaziadas por minuto somam-se. Exemplo simples: se uma faz
do recipiente por minuto e outra faz por minuto, juntas fazem por minuto.
Passo 3
Definir variáveis e escrever as equações a partir dos dados:
- Seja
o tempo (em minutos) que a primeira torneira leva para esvaziar o recipiente sozinha. - Seja
o tempo da segunda torneira.
Pelo enunciado:
Como juntas esvaziam em
minutos, a soma das taxas é
:
Passo 4
Substituir
e combinar frações:
Substituindo na equação das taxas:
Substituindo
Somando as frações do lado esquerdo:
ou seja
Passo 5
Resolver a equação racional (passo a passo):
Multiplicando em cruz para tirar denominadores:
Multiplicando em cruz para tirar denominadores:
Expandindo ambos os lados:
Rearranjando para formar um polinômio igual a zero:
Passo 6
Resolver a equação quadrática (usando a fórmula):
A equação é
A equação é
Usando a fórmula de Bhaskara para
, com
,
,
:
Calcular o discriminante:
Portanto
As duas soluções são
e
. O tempo não pode ser negativo, então descartamos
e ficamos com
Passo 7
Calcular o tempo para esvaziar
do recipiente com a primeira torneira:
- A primeira torneira esvazia todo o recipiente em
minutos, logo em minuto esvazia do recipiente. -
é a fração .
O tempo necessáriosatisfaz
ou seja
Calculando:
Resposta
a)
minutos