(CN 1976) Um recipiente é dotado de duas torneiras. A primeira torneira esvazia-o em um tempo inferior a outra em 30 minutos. Sabendo que as duas torneiras juntas esvaziam o recipiente em 20 minutos, determine em quanto tempo a primeira torneira esvazia 60 \% do recipiente.
a) 18 minutos
b) 30 minutos
c) 15 minutos
d) 20 minutos

Passo 1

Enunciado e o que é pedido (peguei estes dados do enunciado):
  • Há duas torneiras que esvaziam o mesmo recipiente.
  • A primeira torneira esvazia o recipiente em um tempo inferior ao da segunda em 30 minutos.
  • As duas juntas esvaziam o recipiente em 20 minutos.
    O enunciado pede: determinar em quanto tempo a primeira torneira esvazia 60\% do recipiente.

Passo 2

Modelagem por taxas (ideia e linguagem simples):
  • Se uma torneira esvazia um recipiente em t minutos, a “taxa” dela é a fração do recipiente esvaziada por minuto, que é \dfrac{1}{t} (uma parte por minuto).
  • Quando duas torneiras trabalham juntas, as frações esvaziadas por minuto somam-se. Exemplo simples: se uma faz \tfrac{1}{10} do recipiente por minuto e outra faz \tfrac{1}{20} por minuto, juntas fazem \tfrac{1}{10}+\tfrac{1}{20}=\tfrac{3}{20} por minuto.

Passo 3

Definir variáveis e escrever as equações a partir dos dados:
  • Seja t_1 o tempo (em minutos) que a primeira torneira leva para esvaziar o recipiente sozinha.
  • Seja t_2 o tempo da segunda torneira.
    Pelo enunciado:
t_2 = t_1 + 30.
Como juntas esvaziam em 20 minutos, a soma das taxas é \dfrac{1}{20}:
\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}=\frac{1}{20}.

Passo 4

Substituir t_2 e combinar frações:
Substituindo t_2=t_1+30 na equação das taxas:
\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_1+30}=\frac{1}{20}.
Somando as frações do lado esquerdo:
\frac{t_1+30+t_1}{t_1(t_1+30)}=\frac{1}{20}
ou seja
\frac{2t_1+30}{t_1(t_1+30)}=\frac{1}{20}.

Passo 5

Resolver a equação racional (passo a passo):
Multiplicando em cruz para tirar denominadores:
20(2t_1+30)=t_1(t_1+30).
Expandindo ambos os lados:
40t_1+600 = t_1^2+30t_1.
Rearranjando para formar um polinômio igual a zero:
0 = t_1^2+30t_1-(40t_1+600)=t_1^2-10t_1-600.

Passo 6

Resolver a equação quadrática (usando a fórmula):
A equação é
t_1^2-10t_1-600=0.
Usando a fórmula de Bhaskara para ax^2+bx+c=0, com a=1, b=-10, c=-600:
t_1=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{10\pm\sqrt{(-10)^2-4\cdot1\cdot(-600)}}{2}.
Calcular o discriminante:
(-10)^2-4\cdot1\cdot(-600)=100+2400=2500,
\sqrt{2500}=50.
Portanto
t_1=\frac{10\pm50}{2}.
As duas soluções são \dfrac{60}{2}=30 e \dfrac{-40}{2}=-20. O tempo não pode ser negativo, então descartamos -20 e ficamos com
t_1=30\\ \text{minutos}.

Passo 7

Calcular o tempo para esvaziar 60\% do recipiente com a primeira torneira:
  • A primeira torneira esvazia todo o recipiente em t_1=30 minutos, logo em 1 minuto esvazia \dfrac{1}{30} do recipiente.
  • 60\% é a fração \dfrac{60}{100}=\dfrac{3}{5}.
    O tempo necessário T satisfaz
\frac{3}{5} = T\cdot\frac{1}{30},
ou seja
T=\frac{3}{5}\cdot 30.
Calculando:
T=3\cdot 6=18\\ \text{minutos}.

Resposta

a) 18 minutos

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