(CN 2013) Na fabricação de um produto, é utilizado o ingrediente A ou B. Sabe-se que, para cada 100 quilogramas (kg) do ingrediente A devem ser utilizados 10 kg do ingrediente B. Se, reunindo \times \mathrm{kg} do ingrediente A com y kg do ingrediente B, resulta 44000 gramas do produto, então
a) y x=260
b) \sqrt{x \cdot y}=5 \sqrt{10}
c) \sqrt[10]{y^{x}}=256
d) \sqrt[4]{\mathrm{x}^{\mathrm{y}}}=20

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • Para cada 100 kg do ingrediente A deve-se usar 10 kg do ingrediente B.
    • Foram reunidos x kg do ingrediente A e y kg do ingrediente B.
    • O resultado final tem massa 44000 gramas.
  • Observação importante sobre unidades (isso é dado pelo enunciado e vamos usar): 44000 gramas correspondem a 44 kg.
  • O enunciado pede que se determine qual das alternativas (a), (b), (c) ou (d) é verdadeira com os valores de x e y compatíveis com as informações.

Passo 2

Interpretar a relação entre A e B dada pela regra "para cada 100 kg de A usa-se 10 kg de B".
  • Essa é uma razão direta. Significa que a quantidade de B é \tfrac{10}{100} vezes a quantidade de A.
  • Logo, a relação entre x e y é
y = \frac{10}{100}\,x = \frac{x}{10}.
Expliquei: multiplicar por \tfrac{10}{100} é o mesmo que dividir por 10.

Passo 3

Relacionar as massas totais (unidades consistentes).
  • x e y estão em kg; o produto final tem 44000 g =44 kg.
  • Assumindo conservação de massa (a soma das massas de A e B é a massa do produto), temos
x + y = 44.

Passo 4

Substituir a relação y=\dfrac{x}{10} na equação da massa total e resolver para x.
  • Substituindo:
x + \frac{x}{10} = 44.
  • Colocar em um único termo:
\frac{10x}{10} + \frac{x}{10} = \frac{11x}{10} = 44.
  • Isolar x:
x = 44\cdot\frac{10}{11}.
  • Fazer a conta passo a passo: 44\div 11 = 4, então x = 4\cdot 10 = 40.
  • Conclusão: x = 40 kg.

Passo 5

Calcular y usando y=\dfrac{x}{10}.
y = \frac{40}{10} = 4.
Portanto y = 4 kg.

Passo 6

Vamos conferir cada alternativa usando x=40 e y=4. Primeiro lembrete de propriedades que usarei:
  • Produto: x\cdot y é calculado diretamente.
  • Raiz e potência: \sqrt{\,x y\,} é (x y)^{1/2}.
  • Regra de potências e raízes geral: \sqrt[n]{a^{m}} = a^{m/n}. Isto é, a n-ésima raiz de a^{m} é a^{m/n}. Vou usar isso para as alternativas com raízes de potências.

Passo 7

Verificar a alternativa (a): y x = 260.
  • Calcular x\cdot y = 40\cdot 4 = 160.
  • Comparação: 160 \neq 260.
  • Conclusão: (a) é falsa.

Passo 8

Verificar a alternativa (b): \sqrt{x\cdot y}=5\sqrt{10}.
  • Primeiro calcule x\cdot y = 160.
  • \sqrt{160} = \sqrt{16\cdot 10} = \sqrt{16}\cdot\sqrt{10} = 4\sqrt{10}.
  • Comparando com o lado proposto 5\sqrt{10}: 4\sqrt{10}\neq 5\sqrt{10}.
  • Conclusão: (b) é falsa.

Passo 9

Verificar a alternativa (c): \sqrt[10]{y^{x}}=256.
  • Usar a propriedade \sqrt[n]{a^{m}} = a^{m/n}.
  • Aqui a=y=4, m=x=40, n=10. Então
\sqrt[10]{y^{x}} = \left(y^{x}\right)^{1/10} = y^{x/10} = 4^{40/10} = 4^{4}.
  • Calcular 4^{4} = 4\cdot4\cdot4\cdot4 = 16\cdot16 = 256.
  • Portanto \sqrt[10]{y^{x}} = 256, que coincide com a alternativa (c).
  • Conclusão: (c) é verdadeira.

Passo 10

Verificar a alternativa (d): \sqrt[4]{x^{y}}=20.
  • Usar a mesma propriedade: \sqrt[4]{x^{y}} = (x^{y})^{1/4} = x^{y/4}.
  • Com x=40 e y=4 temos
\sqrt[4]{x^{y}} = 40^{4/4} = 40^{1} = 40.
  • Comparando com 20: 40\neq 20.
  • Conclusão: (d) é falsa.

Resposta

(c) \sqrt[10]{y^{x}}=256

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