(EPCAR 2013) Para encher um reservatório com água, pode-se usar duas torneiras. A primeira torneira enche esse reservatório em 36 minutos. A segunda enche o mesmo reservatório em 24 minutos.
Certo dia, em que esse reservatório estava vazio, a primeira torneira é aberta durante um período de
minutos. Ao fim de
minutos, a primeira torneira é fechada e abre-se, imediatamente, a segunda, que fica aberta por um período de
minutos.
Se o volume de água atingido corresponde a
da capacidade do reservatório, então o tempo total gasto foi
a) 31% de hora.
b) 30% de hora.
c)
de hora.
Certo dia, em que esse reservatório estava vazio, a primeira torneira é aberta durante um período de
Se o volume de água atingido corresponde a
a) 31% de hora.
b) 30% de hora.
c)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A primeira torneira enche o reservatório em
minutos quando funciona sozinha. - A segunda torneira enche o reservatório em
minutos quando funciona sozinha. - Num dia em que o reservatório estava vazio, a primeira torneira ficou aberta por
minutos; em seguida, a primeira foi fechada e a segunda ficou aberta por minutos. - Ao final, o volume de água no reservatório corresponde a
da capacidade total.
O que o enunciado pede:
- Determinar o tempo total gasto (em fração de hora, apresentado nas opções em percentuais de hora) e escolher a alternativa correta entre:
a)de hora.
b)de hora.
c)de hora.
Passo 2
Vamos modelar o problema usando a ideia de “taxa de enchimento” (essa é a ferramenta padrão para resolver esses problemas).
- Conceito: se uma torneira enche um reservatório inteiro em
minutos, sua taxa de enchimento é reservatórios por minuto. Isso significa que em minutos essa torneira enche a fração do reservatório. - Exemplo rápido: uma torneira que enche em
minutos tem taxa . Em minutos ela enche do reservatório.
- Exemplo rápido: uma torneira que enche em
- Aplicando ao problema:
- Taxa da primeira torneira:
(reservatórios por minuto). Em minutos ela enche a fração . - Taxa da segunda torneira:
(reservatórios por minuto). Em minutos ela enche a fração .
- Taxa da primeira torneira:
- Como os dois períodos são consecutivos (não simultâneos), o total enchido é a soma das frações:
Essa equação traduz exatamente a condição dada.
Passo 3
Agora resolvemos a equação passo a passo.
Para facilitar, multiplicamos ambos os lados por
(mmc de
e
) para eliminar denominadores:
Calcule cada termo:
Desenvolvendo:
Somando os
:
Isolando
:
(Para intuição:
minutos é
minutos e
segundos, ou seja
min
s.)
Passo 4
Calcule o tempo total gasto: o total é
minutos. Substituindo
:
Agora convertemos para horas (porque as opções estão em porcentagem de hora). Uma hora tem
minutos, então a fração de hora é:
Para expressar em porcentagem de uma hora, multiplicamos por
:
Passo 5
Interpretação final: o tempo total gasto foi
minutos, que corresponde a
horas, isto é,
de uma hora. Comparando com as alternativas, a correta é a)
de hora.
Resposta
a)
de hora.