(EPCAR 2013) Para encher um reservatório com água, pode-se usar duas torneiras. A primeira torneira enche esse reservatório em 36 minutos. A segunda enche o mesmo reservatório em 24 minutos.
Certo dia, em que esse reservatório estava vazio, a primeira torneira é aberta durante um período de k minutos. Ao fim de k minutos, a primeira torneira é fechada e abre-se, imediatamente, a segunda, que fica aberta por um período de (k+3) minutos.
Se o volume de água atingido corresponde a \frac{2}{3} da capacidade do reservatório, então o tempo total gasto foi
a) 31% de hora.
b) 30% de hora.
c) 28 \% de hora.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A primeira torneira enche o reservatório em 36 minutos quando funciona sozinha.
  • A segunda torneira enche o reservatório em 24 minutos quando funciona sozinha.
  • Num dia em que o reservatório estava vazio, a primeira torneira ficou aberta por k minutos; em seguida, a primeira foi fechada e a segunda ficou aberta por (k+3) minutos.
  • Ao final, o volume de água no reservatório corresponde a \tfrac{2}{3} da capacidade total.
O que o enunciado pede:
  • Determinar o tempo total gasto (em fração de hora, apresentado nas opções em percentuais de hora) e escolher a alternativa correta entre:
    a) 31\% de hora.
    b) 30\% de hora.
    c) 28\% de hora.

Passo 2

Vamos modelar o problema usando a ideia de “taxa de enchimento” (essa é a ferramenta padrão para resolver esses problemas).
  • Conceito: se uma torneira enche um reservatório inteiro em T minutos, sua taxa de enchimento é \dfrac{1}{T} reservatórios por minuto. Isso significa que em t minutos essa torneira enche a fração \dfrac{t}{T} do reservatório.
    • Exemplo rápido: uma torneira que enche em 10 minutos tem taxa \tfrac{1}{10}. Em 3 minutos ela enche \tfrac{3}{10} do reservatório.
  • Aplicando ao problema:
    • Taxa da primeira torneira: \dfrac{1}{36} (reservatórios por minuto). Em k minutos ela enche a fração \dfrac{k}{36}.
    • Taxa da segunda torneira: \dfrac{1}{24} (reservatórios por minuto). Em (k+3) minutos ela enche a fração \dfrac{k+3}{24}.
  • Como os dois períodos são consecutivos (não simultâneos), o total enchido é a soma das frações:
\frac{k}{36}+\frac{k+3}{24}=\frac{2}{3}.
Essa equação traduz exatamente a condição dada.

Passo 3

Agora resolvemos a equação passo a passo.
\frac{k}{36}+\frac{k+3}{24}=\frac{2}{3}.
Para facilitar, multiplicamos ambos os lados por 72 (mmc de 36 e 24) para eliminar denominadores:
72\cdot\frac{k}{36}+72\cdot\frac{k+3}{24}=72\cdot\frac{2}{3}.
Calcule cada termo:
2k + 3(k+3) = 48.
Desenvolvendo:
2k + 3k + 9 = 48.
Somando os k:
5k + 9 = 48.
Isolando k:
5k = 48 - 9 = 39,
k = \frac{39}{5} = 7{,}8\\ \text{minutos}.
(Para intuição: k=7{,}8 minutos é 7 minutos e 0{,}8\cdot 60 = 48 segundos, ou seja 7 min 48 s.)

Passo 4

Calcule o tempo total gasto: o total é k+(k+3)=2k+3 minutos. Substituindo k=\dfrac{39}{5}:
T=2\cdot\frac{39}{5}+3=\frac{78}{5}+\frac{15}{5}=\frac{93}{5}=18{,}6\\ \text{minutos}.
Agora convertemos para horas (porque as opções estão em porcentagem de hora). Uma hora tem 60 minutos, então a fração de hora é:
\text{hora}=\frac{18{,}6}{60}=0{,}31\\ \text{hora}.
Para expressar em porcentagem de uma hora, multiplicamos por 100\%:
0{,}31\times 100\% = 31\%.

Passo 5

Interpretação final: o tempo total gasto foi 18{,}6 minutos, que corresponde a 0{,}31 horas, isto é, 31\% de uma hora. Comparando com as alternativas, a correta é a) 31\% de hora.

Resposta

a) 31\% de hora.

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