Em 1983, o Satélite Infravermelho Astronômico (IRAS) detectou uma nuvem de partículas sólidas rodeando a estrela Vega, irradiando com o máximo em um comprimento de onda de 32 pm . Qual a temperatura desta nuvem de partículas? Suponha que a emissividade seja igual à unidade.

Passo 1

O enunciado pede que encontremos a temperatura da nuvem de partículas que emite com máximo em comprimento de onda \;32\\ \text{pm}\;. Informações dadas:
  • Comprimento de onda do máximo de emissão: \lambda_{\text{max}} = 32\\ \text{pm}.
  • Emissividade igual a unidade (ou seja, comporta-se como corpo negro ideal).
    A pergunta final é: qual é a temperatura dessa nuvem de partículas?

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicação didática): para um corpo negro ideal a posição do máximo de emissão no espectro é dada pela Lei de Deslocamento de Wien. Essa lei relaciona o comprimento de onda do pico \lambda_{\text{max}} com a temperatura absoluta T do corpo através da constante de Wien b. A forma da lei é
\lambda_{\text{max}}\,T = b.
Aqui:
  • \lambda_{\text{max}} é o comprimento de onda (no qual a emissão é máxima), em metros;
  • T é a temperatura absoluta, em kelvin ( \text{K});
  • b é a constante de Wien, cujo valor experimental é aproximadamente \;b = 2{,}898\times 10^{-3}\\ \text{m}\cdot\text{K}.
    Breve intuição: quanto menor o comprimento de onda do pico, mais “quente” é o corpo; a lei dá essa relação direta e simples.

Passo 3

Primeiro passo de cálculo: converter o comprimento de onda dado em picômetros para metros. Lembre-se que \;1\\ \text{pm} = 10^{-12}\\ \text{m}. Então
\lambda_{\text{max}} = 32\\ \text{pm} = 32\times 10^{-12}\\ \text{m} = 3{,}2\times 10^{-11}\\ \text{m}.

Passo 4

Isolamos T na Lei de Wien:
T = \frac{b}{\lambda_{\text{max}}}.
Substituímos b = 2{,}898\times 10^{-3}\\ \text{m}\cdot\text{K} e \lambda_{\text{max}} = 3{,}2\times 10^{-11}\\ \text{m}:
T = \frac{2{,}898\times 10^{-3}}{3{,}2\times 10^{-11}}\\ \text{K}.

Passo 5

Agora fazemos a divisão passo a passo para que dê para calcular sem secretamente usar calculadora (mostrando a manipulação de potências de dez):
T = \left(\frac{2{,}898}{3{,}2}\right)\times 10^{-3 -(-11)}\\ \text{K} = \left(\frac{2{,}898}{3{,}2}\right)\times 10^{8}\\ \text{K}.
Calculando a razão numérica:
\frac{2{,}898}{3{,}2} = 0{,}905625.
Portanto
T = 0{,}905625\times 10^{8}\\ \text{K} = 9{,}05625\times 10^{7}\\ \text{K}.

Passo 6

Arredondamento e interpretação final: arredondando para três algarismos significativos,
T \approx 9{,}06\times 10^{7}\\ \text{K}.
Em palavras: cerca de 9{,}06\cdot 10^{7}\\ \text{K}, ou aproximadamente 9{,}1\times 10^{7}\\ \text{K} (isto é, cerca de 90 milhões de kelvin). Esse valor foi obtido assumindo emissividade igual a 1 (corpo negro), conforme pedido.

Resposta

9{,}06\times 10^{7}\\ \text{K}

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