Desenhe um diagrama de Minkowski para uma partícula em repouso em S (linha de mundo vertical). Adicione um evento em ( c t=2, x= 1) e classifique o intervalo.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: desenhar um diagrama de Minkowski para uma partícula em repouso em S (logo, sua linha de mundo é vertical) e adicionar o evento (ct=2,\;x=1) no diagrama, ficando por fim a classificação do intervalo entre o evento na origem e esse evento. Informações dadas:
  • Linha de mundo da partícula em repouso em S: linha vertical em x=0.
  • Evento a adicionar: (ct=2,\;x=1).
    Assumo que o intervalo a ser classificado é entre o evento na origem (ct=0,\;x=0) e o evento (ct=2,\;x=1), pois é a interpretação mais natural aqui.

Passo 2

Como desenhar o diagrama de Minkowski (passo a passo, como se estivéssemos rabiscando no caderno):
  • Trace dois eixos perpendiculares: eixo vertical rotulado ct (tempo multiplicado por c) e eixo horizontal rotulado x (posição espacial).
  • Marque a origem em (ct=0,\;x=0).
  • A linha de mundo de uma partícula em repouso em S é uma reta vertical passando por x=0. Então desenhe uma linha vertical passando pela origem e subindo ao longo do eixo ct; rotule-a como "linha de mundo: x=0".

Passo 3

Desenhe o cone de luz (linhas que representam sinais luminosos partindo da origem):
  • Luz viaja com velocidade c, então no diagrama ct vs x os raios de luz são linhas de inclinação \pm 1 (45°), dadas por
x = \pm ct.
  • Desenhe duas linhas saindo da origem em ângulo de 45°, uma para a direita (futura: x=+ct) e uma para a esquerda (futura: x=-ct). Essas duas linhas delimitam o cone de luz futuro da origem. O cone de luz passado seria as mesmas linhas continuadas para ct<0.

Passo 4

Coloque o evento (ct=2,\;x=1) no diagrama:
  • No eixo vertical marque ct=2 e no eixo horizontal marque x=1.
  • Localize o ponto onde essas coordenadas se cruzam e marque-o como E com etiqueta E=(ct=2,\;x=1).
  • Visualmente, observe se E fica dentro, sobre ou fora do cone de luz futuro (as linhas x=\pm ct).

Passo 5

Agora vamos calcular o intervalo (a “distância” de Minkowski) entre a origem e o evento E. A fórmula do intervalo (usando a assinatura s^{2}=(c\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2}) é:
s^{2} = (c\Delta t)^{2} - (\Delta x)^{2}.
Aqui os incrementos entre a origem (ct=0,\;x=0) e E=(ct=2,\;x=1) são \Delta(ct)=2 e \Delta x=1. Substituindo:
s^{2} = (2)^{2} - (1)^{2} = 4 - 1 = 3.

Passo 6

Interpretação do resultado:
  • Como s^{2}=3>0, o intervalo é do tipo temporal (timelike).
  • Isso significa que E está dentro do cone de luz futuro da origem, ou seja, existe uma linha causal (com velocidade menor que c) que liga a origem a E: um sinal com velocidade adequada ou uma partícula massiva pode ir da origem até E.
  • Outra verificação direta: |x|<ct ? Aqui |1|<2, portanto E está dentro do cone de luz futuro.

Passo 7

Comentário didático rápido para a prova (como reconhecer os três tipos de intervalo sem cálculo longo):
  • Se s^{2} > 0 então intervalo timelike (evento dentro do cone de luz futuro ou passado).
  • Se s^{2} = 0 então intervalo lightlike / null (evento exatamente sobre o cone de luz).
  • Se s^{2} < 0 então intervalo spacelike (evento fora do cone de luz).
    No nosso caso caiu no primeiro item.

Passo 8

Observação extra, útil para intuição: a partícula em repouso em S passa pela origem e em ct=2 ela está em (ct=2,\;x=0). A separação espacial entre esse ponto da linha de mundo e E é \Delta x=1 com \Delta(ct)=0, o que é um intervalo espaciado (spacelike) entre (ct=2,\;x=0) e E. Isso mostra que coisas “simultâneas” em S podem ser separadas espacialmente.

Resposta

Intervalo entre (ct=0,\;x=0) e (ct=2,\;x=1): timelike ( s^{2}=3>0 ).

Exercícios relacionados