Desenhe um diagrama de Minkowski para uma partícula em repouso em S (linha de mundo vertical). Adicione um evento em (
1) e classifique o intervalo.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: desenhar um diagrama de Minkowski para uma partícula em repouso em
(logo, sua linha de mundo é vertical) e adicionar o evento
no diagrama, ficando por fim a classificação do intervalo entre o evento na origem e esse evento. Informações dadas:
- Linha de mundo da partícula em repouso em
: linha vertical em . - Evento a adicionar:
.
Assumo que o intervalo a ser classificado é entre o evento na origeme o evento , pois é a interpretação mais natural aqui.
Passo 2
Como desenhar o diagrama de Minkowski (passo a passo, como se estivéssemos rabiscando no caderno):
- Trace dois eixos perpendiculares: eixo vertical rotulado
(tempo multiplicado por ) e eixo horizontal rotulado (posição espacial). - Marque a origem em
. - A linha de mundo de uma partícula em repouso em
é uma reta vertical passando por . Então desenhe uma linha vertical passando pela origem e subindo ao longo do eixo ; rotule-a como "linha de mundo: ".
Passo 3
Desenhe o cone de luz (linhas que representam sinais luminosos partindo da origem):
- Luz viaja com velocidade
, então no diagrama vs os raios de luz são linhas de inclinação (45°), dadas por
- Desenhe duas linhas saindo da origem em ângulo de 45°, uma para a direita (futura:
) e uma para a esquerda (futura: ). Essas duas linhas delimitam o cone de luz futuro da origem. O cone de luz passado seria as mesmas linhas continuadas para .
Passo 4
Coloque o evento
no diagrama:
- No eixo vertical marque
e no eixo horizontal marque . - Localize o ponto onde essas coordenadas se cruzam e marque-o como
com etiqueta . - Visualmente, observe se
fica dentro, sobre ou fora do cone de luz futuro (as linhas ).
Passo 5
Agora vamos calcular o intervalo (a “distância” de Minkowski) entre a origem e o evento
. A fórmula do intervalo (usando a assinatura
) é:
Aqui os incrementos entre a origem
e
são
e
. Substituindo:
Passo 6
Interpretação do resultado:
- Como
, o intervalo é do tipo temporal (timelike). - Isso significa que
está dentro do cone de luz futuro da origem, ou seja, existe uma linha causal (com velocidade menor que ) que liga a origem a : um sinal com velocidade adequada ou uma partícula massiva pode ir da origem até . - Outra verificação direta:
? Aqui , portanto está dentro do cone de luz futuro.
Passo 7
Comentário didático rápido para a prova (como reconhecer os três tipos de intervalo sem cálculo longo):
- Se
então intervalo timelike (evento dentro do cone de luz futuro ou passado). - Se
então intervalo lightlike / null (evento exatamente sobre o cone de luz). - Se
então intervalo spacelike (evento fora do cone de luz).
No nosso caso caiu no primeiro item.
Passo 8
Observação extra, útil para intuição: a partícula em repouso em
passa pela origem e em
ela está em
. A separação espacial entre esse ponto da linha de mundo e
é
com
, o que é um intervalo espaciado (spacelike) entre
e
. Isso mostra que coisas “simultâneas” em
podem ser separadas espacialmente.
Resposta
Intervalo entre
e
: timelike (
).