Uma carga de
está distribuída uniformemente em uma esfera dielétrica de raio
. Determine o módulo do campo elétrico a) a
do centro da esfera. Considere uma segunda esfera isolante, de mesmo raio, com uma distribuição volumétrica de carga não uniforme e expressa por
, onde r é a distância em relação ao centro da esfera. Determine o campo elétrico para
.
Passo 1
O enunciado traz duas partes. Lista dos dados e o que se pede:
- Dados comuns:
- Raio da esfera:
.
- Raio da esfera:
- Parte (a):
- Uma carga total distribuída uniformemente na esfera:
. - Pede o módulo do campo elétrico a uma distância
do centro da esfera.
- Uma carga total distribuída uniformemente na esfera:
- Parte (b):
- Outra esfera (mesmo raio) com densidade volumétrica não uniforme
. - Aqui vou chamar
. - Pede o módulo do campo elétrico para
.
- Outra esfera (mesmo raio) com densidade volumétrica não uniforme
Passo 2
Conceito-chave que vamos usar (aula rapidinha de teoria): Lei de Gauss para eletrostática. Ela diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dividido por
:
- Se a distribuição é esfericamente simétrica (isto é, só depende de
), então ao escolher uma superfície gaussiana esférica de raio o campo tem direção radial e mesmo módulo em toda a superfície. Assim a integral vira:
ou
- Observação prática: se estamos fora da esfera carregada uniformemente (
), toda a carga total atua como se estivesse concentrada no centro (comportamento de carga pontual): .
Passo 3
Resolvendo a parte (a). Como
, a carga total dentro da esfera gaussiana é
. Usando a fórmula anterior:
É comum usar a constante
.
Passo 4
Substituindo números em (a):
Calculemos passo a passo:
Logo
Direção: radial para fora (já que a carga é positiva).
Passo 5
Agora a parte (b). Temos densidade radial
com
. Para
precisamos calcular a carga contida dentro de uma esfera de raio
:
Substituímos
.
Passo 6
Executando a integral para
:
A integral de
é
, então
Passo 7
Aplicando Gauss com esse
:
Cancelando
e simplificando
obtemos a expressão geral (para
):
Explicando: a dependência
aqui é resultado da densidade que cresce com
— mais carga próximo da superfície interior contribui.
Passo 8
Agora substituímos
em (b). Primeiro expressão analítica:
Substituindo valores numéricos:
Calculemos:
Direção: radial para fora (densidade positiva).
Resposta
a)
.
b) .
b)