Uma carga de 6,00 \mathrm{pC} está distribuída uniformemente em uma esfera dielétrica de raio \mathrm{R}= 4,00 \mathrm{~cm}. Determine o módulo do campo elétrico a) a 6,00 \mathrm{~cm} do centro da esfera. Considere uma segunda esfera isolante, de mesmo raio, com uma distribuição volumétrica de carga não uniforme e expressa por \rho=\left(6,00 p \mathrm{C} / \mathrm{m}^{3}\right) r / R, onde r é a distância em relação ao centro da esfera. Determine o campo elétrico para r=R / 2,00.

Passo 1

O enunciado traz duas partes. Lista dos dados e o que se pede:
  • Dados comuns:
    • Raio da esfera: R=4{,}00\\ \mathrm{cm}=0{,}0400\\ \mathrm{m}.
  • Parte (a):
    • Uma carga total distribuída uniformemente na esfera: Q=6{,}00\\ \mathrm{pC}=6{,}00\times10^{-12}\\ \mathrm{C}.
    • Pede o módulo do campo elétrico a uma distância r=6{,}00\\ \mathrm{cm}=0{,}0600\\ \mathrm{m} do centro da esfera.
  • Parte (b):
    • Outra esfera (mesmo raio) com densidade volumétrica não uniforme \rho(r)=\left(6{,}00\\ \mathrm{pC}/\mathrm{m}^{3}\right)\dfrac{r}{R}.
    • Aqui vou chamar \rho_0=6{,}00\\ \mathrm{pC}/\mathrm{m}^{3}=6{,}00\times10^{-12}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}.
    • Pede o módulo do campo elétrico para r=R/2.

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar (aula rapidinha de teoria): Lei de Gauss para eletrostática. Ela diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dividido por \varepsilon_0:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.
  • Se a distribuição é esfericamente simétrica (isto é, só depende de r), então ao escolher uma superfície gaussiana esférica de raio r o campo \mathbf{E} tem direção radial e mesmo módulo em toda a superfície. Assim a integral vira:
E(r)\cdot 4\pi r^2=\frac{Q_{\text{int}}(r)}{\varepsilon_0},
ou
E(r)=\frac{Q_{\text{int}}(r)}{4\pi\varepsilon_0 r^2}.
  • Observação prática: se estamos fora da esfera carregada uniformemente ( r>R), toda a carga total atua como se estivesse concentrada no centro (comportamento de carga pontual): Q_{\text{int}}(r)=Q.

Passo 3

Resolvendo a parte (a). Como r=0{,}0600\\ \mathrm{m}>R, a carga total dentro da esfera gaussiana é Q_{\text{int}}=Q. Usando a fórmula anterior:
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r^2}.
É comum usar a constante k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx 8{,}98755179\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2}.

Passo 4

Substituindo números em (a):
Q=6{,}00\times10^{-12}\\ \mathrm{C},\qquad r=0{,}0600\\ \mathrm{m}.
Calculemos passo a passo:
kQ=(8{,}98755179\times10^{9})\times(6{,}00\times10^{-12})=0{,}05392531074\\ \mathrm{N\cdot m^2/C}.
r^2=(0{,}0600)^2=0{,}003600\\ \mathrm{m^2}.
Logo
E=\frac{kQ}{r^2}=\frac{0{,}05392531074}{0{,}003600}=14{,}98\\ \mathrm{N/C}.
Direção: radial para fora (já que a carga é positiva).

Passo 5

Agora a parte (b). Temos densidade radial \rho(r)=\rho_0\frac{r}{R} com \rho_0=6{,}00\times10^{-12}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}. Para r<R precisamos calcular a carga contida dentro de uma esfera de raio r:
Q_{\text{int}}(r)=\int_{0}^{r}\rho(r')\,dV=\int_{0}^{r}\rho(r')\,4\pi r'^{2}\,dr'.
Substituímos \rho(r')=\rho_0\frac{r'}{R}.

Passo 6

Executando a integral para Q_{\text{int}}(r):
Q_{\text{int}}(r)=\int_{0}^{r}\rho_0\frac{r'}{R}\,4\pi r'^{2}\,dr'=\frac{4\pi \rho_0}{R}\int_{0}^{r} r'^{3}\,dr'.
A integral de r'^{3} é \dfrac{r'^{4}}{4}, então
Q_{\text{int}}(r)=\frac{4\pi \rho_0}{R}\cdot\frac{r^{4}}{4}=\frac{\pi \rho_0 r^{4}}{R}.

Passo 7

Aplicando Gauss com esse Q_{\text{int}}(r):
E(r)=\frac{Q_{\text{int}}(r)}{4\pi\varepsilon_0 r^{2}}=\frac{\pi \rho_0 r^{4}/R}{4\pi\varepsilon_0 r^{2}}.
Cancelando \pi e simplificando r^{4}/r^{2}=r^{2} obtemos a expressão geral (para r\le R):
E(r)=\frac{\rho_0}{4\varepsilon_0 R}\,r^{2}.
Explicando: a dependência \propto r^{2} aqui é resultado da densidade que cresce com r — mais carga próximo da superfície interior contribui.

Passo 8

Agora substituímos r=R/2 em (b). Primeiro expressão analítica:
E\!\left(\frac{R}{2}\right)=\frac{\rho_0}{4\varepsilon_0 R}\left(\frac{R}{2}\right)^{2}=\frac{\rho_0 R}{16\varepsilon_0}.
Substituindo valores numéricos:
\rho_0=6{,}00\times10^{-12}\\ \mathrm{C/m^{3}},\qquad R=0{,}0400\\ \mathrm{m},\qquad \varepsilon_0=8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
Calculemos:
\rho_0 R=(6{,}00\times10^{-12})\times 0{,}0400=2{,}40\times10^{-13}.
16\varepsilon_0=16\times8{,}854187817\times10^{-12}=1{,}416669\times10^{-10}.
E\!\left(\frac{R}{2}\right)=\frac{2{,}40\times10^{-13}}{1{,}416669\times10^{-10}}=1{,}6944\times10^{-3}\\ \mathrm{N/C}\approx 1{,}69\times10^{-3}\\ \mathrm{N/C}.
Direção: radial para fora (densidade positiva).

Resposta

a) E(6{,}00\\ \mathrm{cm})=14{,}98\\ \mathrm{N/C}.
b) E\!\left(R/2\right)=1{,}69\times10^{-3}\\ \mathrm{N/C}.

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