Uma lâmpada ultravioleta, emitindo em 400 nm , e uma lâmpada infravermelha, emitindo em 700 nm , cada uma com potência nominal de 130 \mathrm{~W} .(\mathrm{a}) Qual das lâmpadas irradia fótons com a maior taxa? (b) Quantos fótons adicionais são gerados por segundo nesta em comparação com a outra lâmpada?

Passo 1

O enunciado: duas lâmpadas, cada uma com potência nominal de 130\\ \mathrm{W}. Uma é ultravioleta emitindo em 400\\ \mathrm{nm} e a outra é infravermelha emitindo em 700\\ \mathrm{nm}. Perguntas:
  1. (a) Qual das lâmpadas irradia fótons com a maior taxa (ou seja, gera mais fótons por segundo)?
  2. (b) Quantos fótons adicionais por segundo essa lâmpada gera em comparação com a outra?
Informações dadas (importante listar tudo):
  • Potência de cada lâmpada: P = 130\\ \mathrm{W} (ou seja, 130\\ \mathrm{J/s}).
  • Comprimentos de onda: \lambda_{\text{UV}} = 400\\ \mathrm{nm} e \lambda_{\text{IR}} = 700\\ \mathrm{nm}.

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar: a energia de um fóton é dada pela fórmula de Planck:
E = \frac{h c}{\lambda},
onde:
  • E é a energia de um fóton (em joules, \mathrm{J});
  • h é a constante de Planck, h = 6{,}626\times 10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s};
  • c é a velocidade da luz no vácuo, c = 3{,}00\times 10^{8}\\ \mathrm{m/s};
  • \lambda é o comprimento de onda do fóton (em metros, \mathrm{m}).
Intuição: para mesma potência P (energia por segundo), a taxa de fótons R (fótons por segundo) é
R=\frac{P}{E}=\frac{P\,\lambda}{h c}.
Ou seja, quanto menor a energia de cada fóton (maior \lambda), maior a quantidade de fótons por segundo para entregar a mesma potência.

Passo 3

Converter os comprimentos de onda de nanômetros para metros (sempre deixar unidades consistentes):
\lambda_{\text{UV}} = 400\\ \mathrm{nm} = 400\times 10^{-9}\\ \mathrm{m} = 4{,}00\times 10^{-7}\\ \mathrm{m},
\lambda_{\text{IR}} = 700\\ \mathrm{nm} = 700\times 10^{-9}\\ \mathrm{m} = 7{,}00\times 10^{-7}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular a energia de um fóton para cada comprimento de onda usando E=\dfrac{h c}{\lambda}.
Para \lambda_{\text{UV}} = 4{,}00\times 10^{-7}\\ \mathrm{m}:
E_{\text{UV}} = \frac{(6{,}626\times 10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s})(3{,}00\times 10^{8}\\ \mathrm{m/s})}{4{,}00\times 10^{-7}\\ \mathrm{m}}.
Primeiro calcule o numerador:
h c = 6{,}626\times 10^{-34}\times 3{,}00\times 10^{8} = 1{,}9878\times 10^{-25}\\ \mathrm{J\cdot m}.
Agora divida:
E_{\text{UV}} = \frac{1{,}9878\times 10^{-25}}{4{,}00\times 10^{-7}} = 4{,}9695\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Arredondando de forma razoável: E_{\text{UV}}\approx 4{,}97\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Para \lambda_{\text{IR}} = 7{,}00\times 10^{-7}\\ \mathrm{m}:
E_{\text{IR}} = \frac{1{,}9878\times 10^{-25}}{7{,}00\times 10^{-7}} = 2{,}8397\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Arredondando: E_{\text{IR}}\approx 2{,}84\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Agora calculamos a taxa de fótons R usando R=\dfrac{P}{E}, lembrando P=130\\ \mathrm{J/s}.
Taxa para a lâmpada UV:
R_{\text{UV}}=\frac{130}{4{,}9695\times 10^{-19}}.
Fazendo a divisão:
R_{\text{UV}}\approx 2{,}617\times 10^{20}\\ \text{fótons/s}.ó
Taxa para a lâmpada IR:
R_{\text{IR}}=\frac{130}{2{,}8397\times 10^{-19}}.
Fazendo a divisão:
R_{\text{IR}}\approx 4{,}579\times 10^{20}\\ \text{fótons/s}.ó

Passo 6

Comparação e interpretação física: R_{\text{IR}} é maior que R_{\text{UV}}. Isso acontece porque cada fóton infravermelho tem menos energia (pois \lambda_{\text{IR}} > \lambda_{\text{UV}}), então, com a mesma potência (mesma energia por segundo), a lâmpada IR emite mais fótons por segundo.
Portanto, a lâmpada que irradia fótons com maior taxa é a de 700\\ \mathrm{nm} (infravermelha).

Passo 7

Calcular quantos fótons adicionais por segundo a lâmpada IR gera em relação à UV:
\Delta R = R_{\text{IR}} - R_{\text{UV}} = 4{,}579\times 10^{20} - 2{,}617\times 10^{20} = 1{,}962\times 10^{20}\\ \text{fótons/s}.ó
Arredondando para três algarismos significativos: \Delta R \approx 1{,}96\times 10^{20}\\ \text{fótons/s}ó.

Resposta

(a) A lâmpada de 700\\ \mathrm{nm} (infravermelha) irradia fótons com a maior taxa.
(b) 1{,}96\times 10^{20}\\ \text{fótons/s}ó

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