Em 1990, o Departamento de Recursos Naturais lançou 1000 peixes em um lago. Em 1997, a população de peixes no lago foi estimada em 3000. Usando a lei malthusiana para crescimento de população, estime a população de peixes no lago no ano de 2020.

Passo 1

O enunciado diz que em 1990 havia 1000 peixes e em 1997 (isto é, 7 anos depois) havia 3000 peixes. Vamos usar a lei malthusiana de crescimento populacional, que supõe crescimento exponencial e é modelada por
P(t) = P0 e^k t
onde P0 é a população inicial, k é a taxa de crescimento e t é o tempo em anos desde 1990.

Passo 2

Identificamos as condições iniciais:
  • P0 = 1000 (população em 1990, isto é, t=0)
  • P(7)=3000 (população em 1997, isto é, t=7)
Vamos usar esses dados para determinar a taxa k.

Passo 3

Substituindo t=7 em P(t)=P0 e^k t temos
3000 = 1000 , e^7k
Dividindo ambos os lados por 1000:
3 = e^7k
Aplicando logaritmo natural:
ln(3) = 7k Longrightarrow k = ln(3)7,

Passo 4

Para estimar a população em 2020, note que 2020 corresponde a t=2020 - 1990 = 30 anos. Então
P(30) = 1000 , e^30k = 1000 , e^30ln(3)7 = 1000 cdot 3^tfrac307,
Calculando numericamente:
P(30)approx 1000 times e^30ln(3)7 approx 1000 times e^4,712 approx 1000 times 111,23 approx 111230
Logo, a população estimada em 2020 é da ordem de 1,11times10^5 peixes.

Resposta

A população em 2020 é de aproximadamente 1,11times10^5 peixes.

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