Uma solução de salmoura flui a uma vazão constante de 6 L / m i n para um tanque grande que inicialmente mantinha 50 L de solução em que foi dissolvido 0,5 kg de sal. A solução dentro do tanque é mantida bem agitada e sai do tanque na mesma velocidade. Se a concentração de sal na salmoura que entra no tanque é de 0,05 kg / L, determine a massa do sal após t minutos. Quando essa concentração atingirá 0,03 kg / L ?

Passo 1

O enunciado descreve um problema de mistura: entra salmoura de concentração ,0,05;kg/L a 6;L/min num tanque bem agitado que contém inicialmente 50;L com 0,5;kg de sal. Sai a mesma vazão de 6;L/min. Queremos (a) a massa de sal S(t) no tanque após t minutos e (b) o instante em que a concentração interna atinge 0,03;kg/L. O conteúdo é uma equação diferencial linear de balanço de massa.

Passo 2

Escrevendo o balanço de massa, a taxa de variação da massa de sal é
dSdt ;=; (vazão in)(conc in) ;-; (vazão out)(conc out) =;6cdot0,05 ;-;6cdotS50 ãã

Passo 3

Reescrevendo em forma padrão,
dSdt + 650,S = 0,3
O fator integrante é
mu(t)=expl(integral tfrac650dtr)=e^3t/25
Multiplicando ambos os lados por mu(t) e integrando:
ddtl(S e^3t/25r) =0,3,e^3t/25 Longrightarrow S e^3t/25 = integral 0,3,e^3t/25dt + C =0,3cdot253e^3t/25+C
Dividindo por e^3t/25 obtém-se a solução geral
S(t)=2,5 + C,e^-3t/25

Passo 4

Usando a condição inicial S(0)=0,5, temos
0,5 = 2,5 + C ;Longrightarrow; C = -2
Logo
S(t)=2,5 ;-;2,e^-3t/25(kg)

Passo 5

A concentração interna é tfracS(t)50. Queremos tfracS(t)50=0,03, isto é S(t)=1,5. Assim,
1,5 = 2,5 - 2,e^-3t/25 Longrightarrow 2,e^-3t/25=1 Longrightarrow e^-3t/25=0,5
-,3t25 = ln(0,5) Longrightarrow t = -253ln(0,5) = 253ln(2)

Resposta

A massa de sal no tanque em função do tempo é
S(t)=2,5 ;-;2,e^-3t/25(kg)
A concentração interna atinge 0,03;kg/L quando
t = 253ln(2)approx 5,77;min

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