Uma solução de salmoura flui a uma vazão constante de
para um tanque grande que inicialmente mantinha
de solução em que foi dissolvido
de sal. A solução dentro do tanque é mantida bem agitada e sai do tanque na mesma velocidade. Se a concentração de sal na salmoura que entra no tanque é de
, determine a massa do sal após
minutos. Quando essa concentração atingirá
?
Passo 1
O enunciado descreve um problema de mistura: entra salmoura de concentração
a
num tanque bem agitado que contém inicialmente
com
de sal. Sai a mesma vazão de
. Queremos (a) a massa de sal
no tanque após
minutos e (b) o instante em que a concentração interna atinge
. O conteúdo é uma equação diferencial linear de balanço de massa.
Passo 2
Escrevendo o balanço de massa, a taxa de variação da massa de sal é
Passo 3
Reescrevendo em forma padrão,
O fator integrante é
Multiplicando ambos os lados por e integrando:
Multiplicando ambos os lados por
Dividindo por
obtém-se a solução geral
Passo 4
Usando a condição inicial
, temos
Logo
Passo 5
A concentração interna é
. Queremos
, isto é
. Assim,
Resposta
A massa de sal no tanque em função do tempo é
A concentração interna atinge
quando