( 2,0 pts) Calcule o coeficiente de correlação de Pearson ( r ) entre X e Y da tabela abaixo. Interprete o sinal e a intensidade da relação.
Obs X (anos de experiência) Y (unidades/h) Grupo
1 1 46 Junior
2 2 50 Junior
3 3 49 Junior
4 4 54 Junior
5 5 56 Junior
6 6 57 Junior
7 7 60 Junior
8 8 62 Junior
9 9 63 Junior
10 10 66 Junior
11 11 68 Sênior
12 12 69 Sênior
13 13 72 Sênior
14 14 73 Sênior
15 15 76 Sênior
16 16 77 Sênior
17 17 81 Sênior
18 18 80 Sênior
19 19 84 Sênior
20 20 86 Sênior

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) calcular o coeficiente de correlação de Pearson entre X e Y; (b) interpretar o sinal e a intensidade da relação.
Dados fornecidos (extraí diretamente da tabela): n=20 observações; os pares (X_i,Y_i) são
(1,46),(2,50),(3,49),(4,54),(5,56),(6,57),(7,60),(8,62),(9,63),(10,66),
(11,68),(12,69),(13,72),(14,73),(15,76),(16,77),(17,81),(18,80),(19,84),(20,86).
A coluna “Grupo” está na tabela, mas não é necessária para calcular o coeficiente de correlação pedido.

Passo 2

Vou explicar a fórmula e o que cada termo significa (aula rápida e prática). O coeficiente de correlação de Pearson r mede a intensidade e o sentido da associação linear entre duas variáveis e é dado por
r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\,S_{yy}}},
onde
S_{xy}=\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y}), \qquad S_{xx}=\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^{2}, \qquad S_{yy}=\sum_{i=1}^{n}(Y_i-\bar{Y})^{2}.
Interpretação dos símbolos: \bar{X} e \bar{Y} são as médias amostrais de X e Y; S_{xy} é a soma dos produtos dos desvios (uma forma de covariância não normalizada); S_{xx} e S_{yy} são somas de quadrados (relacionadas às variâncias). O valor de r fica entre -1 e 1: valores próximos de \pm 1 indicam relação linear forte; o sinal indica se a relação é direta ( +) ou inversa ( -).

Passo 3

Calcular n, \bar{X} e \bar{Y}.
A soma de X é \sum X_i = 1+2+\dots+20 = 210. Logo
\bar{X}=\frac{210}{20}=10,5.
A soma de Y (extraída da tabela) é \sum Y_i = 1329. Logo
\bar{Y}=\frac{1329}{20}=66,45.

Passo 4

Calcular S_{xx}=\sum (X_i-\bar{X})^{2}. Como X é a sequência 1,2,\dots,20 podemos usar a fórmula fechada
\sum_{i=1}^{n}\left(i-\frac{n+1}{2}\right)^{2}=\frac{n(n^{2}-1)}{12}.
Para n=20 isso dá
S_{xx}=\frac{20(20^{2}-1)}{12}=\frac{20\cdot 399}{12}=665.

Passo 5

Calcular S_{xy} usando a identidade
S_{xy}=\sum_{i=1}^{n} X_iY_i - n\bar{X}\bar{Y}.
Primeiro calculei \sum X_iY_i (produto de cada par e soma), obtendo
\sum_{i=1}^{n} X_iY_i =15313.
Então
S_{xy}=15313 - 20\cdot 10,5\cdot 66,45 =15313 - 13954,5 =1358,5.

Passo 6

Calcular S_{yy}=\sum (Y_i-\bar{Y})^{2} via
S_{yy}=\sum_{i=1}^{n} Y_i^{2} - n\bar{Y}^{2}.
Calculei \sum Y_i^{2}=91103. Como \bar{Y}^{2}=66,45^{2}=4415,6025, então
S_{yy}=91103 - 20\cdot 4415,6025 =91103 - 88312,05 =2790,95.

Passo 7

Colocar tudo na fórmula de r:
r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\,S_{yy}}} =\frac{1358,5}{\sqrt{665\cdot 2790,95}}.
Calculei 665\cdot 2790,95=1\,855\,981,75 e \sqrt{1\,855\,981,75}\approx 1362,344. Logo
r\approx\frac{1358,5}{1362,344}\approx 0,9972.
Arredondando para três casas decimais fica r\approx 0,997.

Passo 8

Interpretação do sinal e da intensidade (aula prática rápida):
  • Sinal: r é positivo ( r\approx 0,997), então há relação direta: conforme aumentam os anos de experiência X, aumentam as unidades por hora Y.
  • Intensidade: r está muito próximo de 1, indicando uma correlação linear positiva muito forte (praticamente perfeita). Em termos práticos, grande parte da variação linear em Y está associada à variação em X. Lembre-se: correlação não prova causalidade, mas indica forte associação linear entre as duas variáveis nesse conjunto de dados.

Resposta

r\approx 0,997
Relação direta e muito forte (correlação linear positiva praticamente perfeita).

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