( 2,0 pts) Ajuste um modelo de regressão para a variável de resposta da tabela abaixo. Informe os coeficientes e determine os intervalos de confiança para interseção e inclinação. Utilize o nível de confiança de
. Qual o significado dos intervalos de confiança para
e
?
Obs
X (anos de experiência)
Y (unidades/h)
Grupo
1
1
46
Junior
2
2
50
Junior
3
3
49
Junior
4
4
54
Junior
5
5
56
Junior
6
6
57
Junior
7
7
60
Junior
8
8
62
Junior
9
9
63
Junior
10
10
66
Junior
11
11
68
Sênior
12
12
69
Sênior
13
13
72
Sênior
14
14
73
Sênior
15
15
76
Sênior
16
16
77
Sênior
17
17
81
Sênior
18
18
80
Sênior
19
19
84
Sênior
20
20
86
Sênior
| Obs | X (anos de experiência) | Y (unidades/h) | Grupo |
| 1 | 1 | 46 | Junior |
| 2 | 2 | 50 | Junior |
| 3 | 3 | 49 | Junior |
| 4 | 4 | 54 | Junior |
| 5 | 5 | 56 | Junior |
| 6 | 6 | 57 | Junior |
| 7 | 7 | 60 | Junior |
| 8 | 8 | 62 | Junior |
| 9 | 9 | 63 | Junior |
| 10 | 10 | 66 | Junior |
| 11 | 11 | 68 | Sênior |
| 12 | 12 | 69 | Sênior |
| 13 | 13 | 72 | Sênior |
| 14 | 14 | 73 | Sênior |
| 15 | 15 | 76 | Sênior |
| 16 | 16 | 77 | Sênior |
| 17 | 17 | 81 | Sênior |
| 18 | 18 | 80 | Sênior |
| 19 | 19 | 84 | Sênior |
| 20 | 20 | 86 | Sênior |
Passo 1
O enunciado pede que a gente ajuste um modelo de regressão linear simples para os dados da tabela, informe os coeficientes e determine os intervalos de confiança de
para a interseção (
) e para a inclinação (
). Também pede que expliquemos o significado desses intervalos de confiança.\n
Dados fornecidos (retirei-os da tabela do enunciado):
Dados fornecidos (retirei-os da tabela do enunciado):
Nada mais será pedido neste passo — só identifiquei o que a questão exige e os dados que temos.
Passo 2
Apresento as fórmulas e o que cada símbolo significa (aula rápida e clara):
Explicando:
e
são as médias amostrais de
e
.
é a estimativa da inclinação (variação média em
por unidade de
).
é a estimativa da interseção (valor esperado de
quando
). Depois de estimar os coeficientes, usamos o erro quadrático residual para estimar a variância dos estimadores e construir intervalos de confiança.
Passo 3
Calculei as somas e médias necessárias (a conta foi feita diretamente a partir dos dados da tabela):
Passo 4
Calculei
usando as fórmulas:
Passo 5
Estimativas dos coeficientes:
Portanto a reta ajustada é
Passo 6
Agora calculo a soma de quadrados dos resíduos (SSE) e a estimativa da variância dos erros:
Estimador do quadrado da variância do erro:
Passo 7
Cálculo dos erros-padrão dos estimadores (fórmulas e números):
Passo 8
Intervalos de confiança de
. Para
graus de liberdade, o quantil
com
é aproximadamente
. Então:
Passo 9
Interpretação (jeito simples, direto e útil para prova):
- O intervalo
quer dizer que, com nível de confiança de , a verdadeira inclinação (aumento médio nas unidades/h por ano de experiência) está entre aproximadamente e unidades/h por ano. Em linguagem prática: cada ano adicional de experiência aumenta, em média, cerca de unidades/h, e temos de confiança nessa faixa estimada. \n - O intervalo
quer dizer que, com de confiança, o verdadeiro valor da interseção (valor esperado de quando ) está entre aproximadamente e unidades/h. Observação importante para prova: como os dados começam em , interpretar é um pouco extrapolador (é o nível previsto em , fora da amostra), então tome cuidado na conclusão prática — mas estatisticamente o intervalo é válido para o parâmetro .
\n
Força final: você obteve a retae intervalos razoavelmente estreitos — bom sinal de ajuste!
Resposta
Significado: o intervalo para