( 2,0 pts) Ajuste um modelo de regressão para a variável de resposta da tabela abaixo. Informe os coeficientes e determine os intervalos de confiança para interseção e inclinação. Utilize o nível de confiança de 90 \%. Qual o significado dos intervalos de confiança para \beta_{0} e \beta_{1} ?
Obs X (anos de experiência) Y (unidades/h) Grupo
1 1 46 Junior
2 2 50 Junior
3 3 49 Junior
4 4 54 Junior
5 5 56 Junior
6 6 57 Junior
7 7 60 Junior
8 8 62 Junior
9 9 63 Junior
10 10 66 Junior
11 11 68 Sênior
12 12 69 Sênior
13 13 72 Sênior
14 14 73 Sênior
15 15 76 Sênior
16 16 77 Sênior
17 17 81 Sênior
18 18 80 Sênior
19 19 84 Sênior
20 20 86 Sênior

Passo 1

O enunciado pede que a gente ajuste um modelo de regressão linear simples para os dados da tabela, informe os coeficientes e determine os intervalos de confiança de 90\% para a interseção ( \beta_{0}) e para a inclinação ( \beta_{1}). Também pede que expliquemos o significado desses intervalos de confiança.\n
Dados fornecidos (retirei-os da tabela do enunciado):
\begin{aligned} &\text{Número de observações: } n=20,\\\ &X=\{1,2,\dots,20\}\\ \text{(anos de experiência)},\\\ &Y=\{46,50,49,54,56,57,60,62,63,66,68,69,72,73,76,77,81,80,84,86\}\\ \text{(unidades/h)}. \end{aligned}úçõê
Nada mais será pedido neste passo — só identifiquei o que a questão exige e os dados que temos.

Passo 2

Apresento as fórmulas e o que cada símbolo significa (aula rápida e clara):
\begin{aligned} &\hat{\beta}_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}},\qquad \hat{\beta}_0=\bar{y}-\hat{\beta}_1\bar{x},\\\ &S_{xx}=\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2=\sum x_i^2-n\bar{x}^2,\\\ &S_{xy}=\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=\sum x_i y_i-n\bar{x}\bar{y},\\\ &S_{yy}=\sum_{i=1}^n (y_i-\bar{y})^2=\sum y_i^2-n\bar{y}^2. \end{aligned}
Explicando: \bar{x} e \bar{y} são as médias amostrais de X e Y. \hat{\beta}_1 é a estimativa da inclinação (variação média em Y por unidade de X). \hat{\beta}_0 é a estimativa da interseção (valor esperado de Y quando X=0). Depois de estimar os coeficientes, usamos o erro quadrático residual para estimar a variância dos estimadores e construir intervalos de confiança.

Passo 3

Calculei as somas e médias necessárias (a conta foi feita diretamente a partir dos dados da tabela):
\begin{aligned} &\sum x_i=210,\qquad \sum x_i^2=2870,\\\ &\sum y_i=1329,\qquad \sum y_i^2=91103,\\\ &\sum x_i y_i=15313,\\\ &\bar{x}=\frac{210}{20}=10{,}5,\qquad \bar{y}=\frac{1329}{20}=66{,}45. \end{aligned}

Passo 4

Calculei S_{xx},S_{xy},S_{yy} usando as fórmulas:
\begin{aligned} &S_{xx}=2870-20\cdot(10{,}5)^2=2870-2205=665,\\\ &S_{xy}=15313-20\cdot(10{,}5)(66{,}45)=15313-13954{,}5=1358{,}5,\\\ &S_{yy}=91103-20\cdot(66{,}45)^2=91103-88312{,}05=2790{,}95. \end{aligned}

Passo 5

Estimativas dos coeficientes:
\begin{aligned} &\hat{\beta}_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}=\frac{1358{,}5}{665}=2{,}042857\ldots,\\\ &\hat{\beta}_0=\bar{y}-\hat{\beta}_1\bar{x}=66{,}45-2{,}042857\cdot10{,}5=45{,}0. \end{aligned}
Portanto a reta ajustada é
\hat{y}=45{,}0+2{,}042857\,x.

Passo 6

Agora calculo a soma de quadrados dos resíduos (SSE) e a estimativa da variância dos erros:
\begin{aligned} &\text{SSR}=\hat{\beta}_1 S_{xy}=\frac{S_{xy}^2}{S_{xx}}=\frac{1358{,}5^2}{665}\approx2776{,}2214,\\\ &\text{SSE}=S_{yy}-\text{SSR}=2790{,}95-2776{,}2214\approx14{,}7286. \end{aligned}
Estimador do quadrado da variância do erro:
\hat{\sigma}^2=\frac{\text{SSE}}{n-2}=\frac{14{,}7286}{18}\approx0{,}818254, \qquad \hat{\sigma}=\sqrt{\hat{\sigma}^2}\approx0{,}9046.

Passo 7

Cálculo dos erros-padrão dos estimadores (fórmulas e números):
\begin{aligned} &\mathrm{se}(\hat{\beta}_1)=\sqrt{\frac{\hat{\sigma}^2}{S_{xx}}} =\sqrt{\frac{0{,}818254}{665}}\approx0{,}03508,\\\ &\mathrm{se}(\hat{\beta}_0)=\sqrt{\hat{\sigma}^2\left(\frac{1}{n}+\frac{\bar{x}^2}{S_{xx}}\right)} =\sqrt{0{,}818254\left(\frac{1}{20}+\frac{10{,}5^2}{665}\right)}\approx0{,}42018. \end{aligned}

Passo 8

Intervalos de confiança de 90\%. Para n-2=18 graus de liberdade, o quantil t_{1-\alpha/2,\,18} com \alpha=0{,}10 é aproximadamente t_{0{,}95,\,18}\approx1{,}734. Então:
\begin{aligned} &\text{IC}_{90\%}(\beta_1):\\ \hat{\beta}_1\pm t_{0{,}95,18}\,\mathrm{se}(\hat{\beta}_1) =2{,}042857\pm1{,}734\cdot0{,}03508,\\\ &\text{margem}=1{,}734\times0{,}03508\approx0{,}06081,\\\ &\Rightarrow \text{IC}_{90\%}(\beta_1)\approx[1{,}98205,\\\ 2{,}10366]. \end{aligned}
\begin{aligned} &\text{IC}_{90\%}(\beta_0):\\ \hat{\beta}_0\pm t_{0{,}95,18}\,\mathrm{se}(\hat{\beta}_0) =45{,}0\pm1{,}734\cdot0{,}42018,\\\ &\text{margem}=1{,}734\times0{,}42018\approx0{,}72805,\\\ &\Rightarrow \text{IC}_{90\%}(\beta_0)\approx[44{,}27195,\\\ 45{,}72805]. \end{aligned}

Passo 9

Interpretação (jeito simples, direto e útil para prova):
  • O intervalo \text{IC}_{90\%}(\beta_1)=[1{,}98205,\\\ 2{,}10366] quer dizer que, com nível de confiança de 90\%, a verdadeira inclinação \beta_1 (aumento médio nas unidades/h por ano de experiência) está entre aproximadamente 1{,}98 e 2{,}10 unidades/h por ano. Em linguagem prática: cada ano adicional de experiência aumenta, em média, cerca de 2 unidades/h, e temos 90\% de confiança nessa faixa estimada. \n
  • O intervalo \text{IC}_{90\%}(\beta_0)=[44{,}27195,\\\ 45{,}72805] quer dizer que, com 90\% de confiança, o verdadeiro valor da interseção \beta_0 (valor esperado de Y quando X=0) está entre aproximadamente 44{,}27 e 45{,}73 unidades/h. Observação importante para prova: como os dados começam em X=1, interpretar \beta_0 é um pouco extrapolador (é o nível previsto em X=0, fora da amostra), então tome cuidado na conclusão prática — mas estatisticamente o intervalo é válido para o parâmetro \beta_0.
    \n
    Força final: você obteve a reta \hat{y}=45{,}0+2{,}042857x e intervalos razoavelmente estreitos — bom sinal de ajuste!

Resposta

\hat{\beta}_0=45{,}0,\\ \hat{\beta}_1=2{,}042857.
\text{IC}_{90\%}(\beta_0)=[44{,}27195,\\\ 45{,}72805].
\text{IC}_{90\%}(\beta_1)=[1{,}98205,\\\ 2{,}10366].
Significado: o intervalo para \beta_1 diz que a cada ano de experiência a produção aumenta, em média, entre cerca de 1{,}98 e 2{,}10 unidades/h (nível de confiança 90\%); o intervalo para \beta_0 diz que o valor esperado de Y em X=0 está entre cerca de 44{,}27 e 45{,}73 unidades/h (nível de confiança 90\%), lembrando que X=0 é extrapolação em relação aos dados observados.

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