Um gerente realiza uma pesquisa de satisfação com n=400 clientes. Dos 400, x=260 dizem que estão satisfeitos com o novo serviço. a) Construir um intervalo de confiança para a verdadeira proporção de clientes satisfeitos (\theta=95 \%). b) Interprete o resultado. c) Recalcule o tamanho de amostra para uma margem de erro \mathrm{E}=0,03. (2,0)

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de n=400 clientes, dos quais x=260 disseram estar satisfeitos. As perguntas são:
a) Construir um intervalo de confiança para a verdadeira proporção de clientes satisfeitos com nível de confiança \theta=95\%.
b) Interpretar o resultado no contexto.
c) Recalcular o tamanho de amostra necessário para uma margem de erro \mathrm{E}=0,03.
Informações relevantes dadas: n=400, x=260, nível de confiança 95\%, margem de erro desejada para (c) \mathrm{E}=0,03.

Passo 2

Calcular a proporção amostral ( \hat{p}). Essa é a estimativa pontual da proporção verdadeira e é dada por
\hat{p}=\frac{x}{n}.
Substituindo os valores fornecidos:
\hat{p}=\frac{260}{400}=0,65.
Explicação rápida: \hat{p} é a fração da amostra que responde “sim” (satisfeito). Aqui 260 de 400 deram essa resposta, logo \hat{p}=0,65.

Passo 3

Apresentar a fórmula do intervalo de confiança para proporção (aproximação normal). Quando n é grande, um intervalo de confiança aproximado para a proporção verdadeira p é
\hat{p}\pm z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}},
onde:
  • \hat{p} é a proporção amostral (já calculada),
  • z_{1-\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão correspondente ao nível de confiança (por exemplo, para 95\%, z_{0,975}=1,96),
  • \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} é o erro padrão da proporção (mostra a variação esperada de \hat{p} entre amostras de mesmo tamanho).
    Explicação didática: pensamos na proporção amostral como uma média de variáveis indicadoras (1 para “satisfeito”, 0 para “não”). Pelo Teorema Central do Limite, para n grande essa média se aproxima de uma normal com média p e desvio padrão \sqrt{p(1-p)/n}; substituímos p por \hat{p} para estimar o desvio.

Passo 4

Calcular o erro padrão usando \hat{p}=0,65 e n=400:
\hat{p}(1-\hat{p})=0,65\cdot(1-0,65)=0,65\cdot 0,35=0,2275.
\text{erro padrão }=\sqrt{\frac{0,2275}{400}}=\sqrt{0,00056875}\approx 0,02386.ã
Explicação: o erro padrão dá a escala típica das variações de \hat{p}. Aqui ele é cerca de 0,02386, ou seja, em torno de 2{,}4 pontos percentuais.

Passo 5

Calcular a margem de erro para 95\% usando z_{0,975}=1,96:
\text{margem}=1,96\times 0,02386\approx 0,0468.
Portanto o intervalo de confiança é
0,65\pm 0,0468.
Fazendo as contas:
\text{limite inferior}=0,65-0,0468=0,6032,
\text{limite superior}=0,65+0,0468=0,6968.
Interpretação numérica: o intervalo é [0,6032,\;0,6968].

Passo 6

Explicar como interpretar esse intervalo (linguagem informal e intuitiva). Dizer “temos 95\% de certeza de que o verdadeiro valor” é perigoso — a forma correta é: se repetíssemos essa pesquisa muitas vezes com amostras do mesmo tamanho e construíssemos um intervalo do mesmo tipo para cada amostra, aproximadamente 95\% desses intervalos conteriam a verdadeira proporção desconhecida. Na prática, com os dados atuais, a melhor estimativa para a proporção verdadeira é 0,65 e acreditamos, com confiança de 95\%, que o verdadeiro valor está entre 60{,}32\% e 69{,}68\%. Em linguagem leve: “dos dados que temos, é razoável afirmar que entre cerca de 60\% e 70\% dos clientes estão satisfeitos.”

Passo 7

Descrever a fórmula para calcular o tamanho de amostra necessário para dada margem de erro \mathrm{E} e nível de confiança. A fórmula (aproximação normal) é
n=\frac{z_{1-\alpha/2}^{2}\,p(1-p)}{\mathrm{E}^{2}},
onde p é um valor usado para estimar a variabilidade. Duas opções comuns:
  • usar p=\hat{p} (se já temos uma estimativa) — produz geralmente um n menor;
  • usar p=0,5 (caso conservador) — maximiza p(1-p)=0,25 e dá o maior n necessário, evitando subdimensionamento.
Explicação: p(1-p) é a variância da variável indicadora; para garantir margem \mathrm{E} usamos essa fórmula. Sempre arredondar para cima (ceiling), porque precisamos de pelo menos esse número inteiro de observações.

Passo 8

Calcular n usando a estimativa amostral \hat{p}=0,65. Substituindo z_{0,975}=1,96, p=0,65 e \mathrm{E}=0,03:
n=\frac{1,96^{2}\times 0,65(1-0,65)}{0,03^{2}}=\frac{3,8416\times 0,2275}{0,0009}.
Calculemos o numerador:
3,8416\times 0,2275\approx 0,8740.
Agora
n\approx\frac{0,8740}{0,0009}\approx 971,111\ldots
Arredondando para cima:
n=972.
Explicação: precisamos de pelo menos 972 observações para garantir margem de erro 0,03 ao nível 95\% se a verdadeira proporção for aproximadamente 0,65.

Passo 9

Calcular o n conservador (caso não se queira usar \hat{p} ou antes de coletar dados), usando p=0,5:
n=\frac{1,96^{2}\times 0,5(1-0,5)}{0,03^{2}}=\frac{3,8416\times 0,25}{0,0009}=\frac{0,9604}{0,0009}\approx 1067{,}111\ldots
Arredondando para cima:
n=1068.
Comentário final: se já temos a amostra piloto de 400 e queremos recalcular o total com base nessa estimativa, use n=972. Se estamos planejando antes de qualquer coleta e queremos garantia máxima, use n=1068.

Resposta

(a) Intervalo de confiança 95\%: [0,6032,\;0,6968].
(b) Interpretação: Com confiança de 95\%, a verdadeira proporção de clientes satisfeitos está entre 60{,}32\% e 69{,}68\%; isto é, se repetíssemos a pesquisa muitas vezes, cerca de 95\% dos intervalos construídos assim conteriam a proporção real.
(c) Tamanho de amostra para \mathrm{E}=0,03 e 95\%: usando \hat{p}=0,65 obtém-se n=972; valor conservador (usando p=0,5) dá n=1068.

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