Um gerente realiza uma pesquisa de satisfação com
clientes. Dos
dizem que estão satisfeitos com o novo serviço. a) Construir um intervalo de confiança para a verdadeira proporção de clientes satisfeitos
. b) Interprete o resultado. c) Recalcule o tamanho de amostra para uma margem de erro
. (2,0)
Passo 1
O enunciado dá uma amostra de
clientes, dos quais
disseram estar satisfeitos. As perguntas são:
a) Construir um intervalo de confiança para a verdadeira proporção de clientes satisfeitos com nível de confiança .
b) Interpretar o resultado no contexto.
c) Recalcular o tamanho de amostra necessário para uma margem de erro .
Informações relevantes dadas: ,
, nível de confiança
, margem de erro desejada para (c)
.
a) Construir um intervalo de confiança para a verdadeira proporção de clientes satisfeitos com nível de confiança
b) Interpretar o resultado no contexto.
c) Recalcular o tamanho de amostra necessário para uma margem de erro
Informações relevantes dadas:
Passo 2
Calcular a proporção amostral (
). Essa é a estimativa pontual da proporção verdadeira e é dada por
Substituindo os valores fornecidos:
Explicação rápida:
é a fração da amostra que responde “sim” (satisfeito). Aqui
de
deram essa resposta, logo
.
Passo 3
Apresentar a fórmula do intervalo de confiança para proporção (aproximação normal). Quando
é grande, um intervalo de confiança aproximado para a proporção verdadeira
é
onde:
-
é a proporção amostral (já calculada), -
é o quantil da distribuição normal padrão correspondente ao nível de confiança (por exemplo, para , ), -
é o erro padrão da proporção (mostra a variação esperada de entre amostras de mesmo tamanho).
Explicação didática: pensamos na proporção amostral como uma média de variáveis indicadoras (1 para “satisfeito”, 0 para “não”). Pelo Teorema Central do Limite, paragrande essa média se aproxima de uma normal com média e desvio padrão ; substituímos por para estimar o desvio.
Passo 4
Calcular o erro padrão usando
e
:
Explicação: o erro padrão dá a escala típica das variações de
. Aqui ele é cerca de
, ou seja, em torno de
pontos percentuais.
Passo 5
Calcular a margem de erro para
usando
:
Portanto o intervalo de confiança é
Fazendo as contas:
Interpretação numérica: o intervalo é
.
Passo 6
Explicar como interpretar esse intervalo (linguagem informal e intuitiva). Dizer “temos
de certeza de que o verdadeiro valor” é perigoso — a forma correta é: se repetíssemos essa pesquisa muitas vezes com amostras do mesmo tamanho e construíssemos um intervalo do mesmo tipo para cada amostra, aproximadamente
desses intervalos conteriam a verdadeira proporção desconhecida. Na prática, com os dados atuais, a melhor estimativa para a proporção verdadeira é
e acreditamos, com confiança de
, que o verdadeiro valor está entre
e
. Em linguagem leve: “dos dados que temos, é razoável afirmar que entre cerca de
e
dos clientes estão satisfeitos.”
Passo 7
Descrever a fórmula para calcular o tamanho de amostra necessário para dada margem de erro
e nível de confiança. A fórmula (aproximação normal) é
onde
é um valor usado para estimar a variabilidade. Duas opções comuns:
- usar
(se já temos uma estimativa) — produz geralmente um menor; - usar
(caso conservador) — maximiza e dá o maior necessário, evitando subdimensionamento.
Explicação:
é a variância da variável indicadora; para garantir margem
usamos essa fórmula. Sempre arredondar para cima (ceiling), porque precisamos de pelo menos esse número inteiro de observações.
Passo 8
Calcular
usando a estimativa amostral
. Substituindo
,
e
:
Calculemos o numerador:
Agora
Arredondando para cima:
Explicação: precisamos de pelo menos
observações para garantir margem de erro
ao nível
se a verdadeira proporção for aproximadamente
.
Passo 9
Calcular o
conservador (caso não se queira usar
ou antes de coletar dados), usando
:
Arredondando para cima:
Comentário final: se já temos a amostra piloto de
e queremos recalcular o total com base nessa estimativa, use
. Se estamos planejando antes de qualquer coleta e queremos garantia máxima, use
.
Resposta
(a) Intervalo de confiança
:
.
(b) Interpretação: Com confiança de , a verdadeira proporção de clientes satisfeitos está entre
e
; isto é, se repetíssemos a pesquisa muitas vezes, cerca de
dos intervalos construídos assim conteriam a proporção real.
(c) Tamanho de amostra para e
: usando
obtém-se
; valor conservador (usando
) dá
.
(b) Interpretação: Com confiança de
(c) Tamanho de amostra para