Considere um meio cuja equação de condução de calor na forma mais simples é
(a) A transferência de calor é permanente ou transiente?
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
Informações/elementos que o enunciado fornece:
- A equação está escrita em coordenadas cilíndricas (aparecem as derivadas em
e ). - Há um termo de geração volumétrica de calor indicado por
. - A condutividade térmica aparece como
(pode ser função de ou constante; não dito explicitamente). - A pergunta (a) é: A transferência de calor é permanente ou transiente?
Passo 2
O que significam “permanente” (estado estacionário) e “transiente”:
- Um processo é transiente quando a temperatura depende do tempo; ou seja, a distribuição de temperatura muda com o tempo. Na equação de condução de calor aparece explicitamente uma derivada temporal do tipo
. - Um processo é permanente (ou estado estacionário) quando a temperatura não muda com o tempo — a distribuição de temperatura é constante no tempo. Isso corresponde a
.
Para ver isso no contexto da equação famosa, a forma geral (transiente) da equação de condução de calor, em coordenadas cilíndricas e com propriedades possivelmente dependentes do espaço, costuma ser escrita assim (forma física balanceada):
onde:
-
é a densidade do material (massa por volume), -
é a capacidade térmica específica a pressão constante (energia por massa por grau), -
é a capacidade térmica volumétrica (quantidade que multiplica ), -
é a derivada temporal que indica variação de temperatura no tempo.
Passo 3
Comparando a equação dada com a forma geral acima:
- A equação geral tem o termo
no lado esquerdo, que representa acúmulo de energia térmica (variação temporal). - A equação fornecida no enunciado não contém nenhum termo com
; ela é
Logo, é exatamente a forma que se obtém impondo
na equação transiente (ou seja, supondo estado estacionário). Portanto a presença de
foi eliminada — sinal claro de que se trata de um problema em regime permanente.
Passo 4
Interpretação prática — como identificar isto rapidamente numa prova:
- Procure por um termo do tipo
(frequentemente multiplicado por ). Se existir, o problema é transiente. - Se esse termo não aparece, a equação descreve equilíbrio energético no espaço sem acúmulo temporal — é estado estacionário (permanente).
Exemplo rápido e didático: - Equação 1D transiente (barra homogênea, condutividade constante):
- Se
, fica
que é a versão estacionária (permanente) — não depende do tempo.
Passo 5
Observações importantes e esclarecedoras:
- “Permanente” não significa que não há fontes:
pode ser diferente de zero e ainda assim o problema ser estacionário — significa apenas que geração, condução e saídas de calor estão em equilíbrio no espaço e não há variação temporal. - Em problemas transientes precisa-se de condições iniciais (temperatura inicial em todo o domínio) além das condições de contorno. Em problemas permanentes só são necessárias condições de contorno espaciais.
- Em alguns casos práticos pode usar-se aproximação “quase estacionária” (quasi-steady) quando as variações temporais são muito lentas; aí, sob certas hipóteses, também se usa a equação sem
. Mas isso é uma aproximação justificável caso a caso.
Passo 6
Conclusão direta e encorajamento: a ausência do termo temporal é o sinal definitivo. Lembra: quando vir
é transiente; quando não vir, é permanente. Você já sabe o que procurar na prova — bateu o desespero, mas isso é rápido de identificar!
Resposta
Permanente (estado estacionário).