Considere um meio cuja equação de condução de calor na forma mais simples é
\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left(k r \frac{\partial T}{\partial r}\right)+\frac{\partial}{\partial z}\left(k \frac{\partial T}{\partial z}\right)+\dot{e}_{\mathrm{ger}}=0
(a) A transferência de calor é permanente ou transiente?

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}\!\left(k r \frac{\partial T}{\partial r}\right)+\frac{\partial}{\partial z}\!\left(k \frac{\partial T}{\partial z}\right)+\dot{e}_{\mathrm{ger}}=0
Informações/elementos que o enunciado fornece:
  • A equação está escrita em coordenadas cilíndricas (aparecem as derivadas em r e z).
  • Há um termo de geração volumétrica de calor indicado por \dot{e}_{\mathrm{ger}}.
  • A condutividade térmica aparece como k (pode ser função de r,z,T ou constante; não dito explicitamente).
  • A pergunta (a) é: A transferência de calor é permanente ou transiente?

Passo 2

O que significam “permanente” (estado estacionário) e “transiente”:
  • Um processo é transiente quando a temperatura depende do tempo; ou seja, a distribuição de temperatura muda com o tempo. Na equação de condução de calor aparece explicitamente uma derivada temporal do tipo \partial T/\partial t.
  • Um processo é permanente (ou estado estacionário) quando a temperatura não muda com o tempo — a distribuição de temperatura é constante no tempo. Isso corresponde a \partial T/\partial t=0.
Para ver isso no contexto da equação famosa, a forma geral (transiente) da equação de condução de calor, em coordenadas cilíndricas e com propriedades possivelmente dependentes do espaço, costuma ser escrita assim (forma física balanceada):
\rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(k r \frac{\partial T}{\partial r}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\!\left(k \frac{\partial T}{\partial z}\right) + \dot{e}_{\mathrm{ger}},
onde:
  • \rho é a densidade do material (massa por volume),
  • c_p é a capacidade térmica específica a pressão constante (energia por massa por grau),
  • \rho c_p é a capacidade térmica volumétrica (quantidade que multiplica \partial T/\partial t),
  • \partial T/\partial t é a derivada temporal que indica variação de temperatura no tempo.

Passo 3

Comparando a equação dada com a forma geral acima:
  • A equação geral tem o termo \rho c_p \dfrac{\partial T}{\partial t} no lado esquerdo, que representa acúmulo de energia térmica (variação temporal).
  • A equação fornecida no enunciado não contém nenhum termo com \dfrac{\partial T}{\partial t}; ela é
\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}\!\left(k r \frac{\partial T}{\partial r}\right)+\frac{\partial}{\partial z}\!\left(k \frac{\partial T}{\partial z}\right)+\dot{e}_{\mathrm{ger}}=0.
Logo, é exatamente a forma que se obtém impondo \dfrac{\partial T}{\partial t}=0 na equação transiente (ou seja, supondo estado estacionário). Portanto a presença de \partial T/\partial t foi eliminada — sinal claro de que se trata de um problema em regime permanente.

Passo 4

Interpretação prática — como identificar isto rapidamente numa prova:
  • Procure por um termo do tipo \dfrac{\partial T}{\partial t} (frequentemente multiplicado por \rho c_p). Se existir, o problema é transiente.
  • Se esse termo não aparece, a equação descreve equilíbrio energético no espaço sem acúmulo temporal — é estado estacionário (permanente).
    Exemplo rápido e didático:
  • Equação 1D transiente (barra homogênea, condutividade constante):
\rho c_p \frac{\partial T}{\partial t}=k\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}.
  • Se \partial T/\partial t=0, fica
k\frac{d^2 T}{d x^2}=0,
que é a versão estacionária (permanente) — não depende do tempo.

Passo 5

Observações importantes e esclarecedoras:
  • “Permanente” não significa que não há fontes: \dot{e}_{\mathrm{ger}} pode ser diferente de zero e ainda assim o problema ser estacionário — significa apenas que geração, condução e saídas de calor estão em equilíbrio no espaço e não há variação temporal.
  • Em problemas transientes precisa-se de condições iniciais (temperatura inicial em todo o domínio) além das condições de contorno. Em problemas permanentes só são necessárias condições de contorno espaciais.
  • Em alguns casos práticos pode usar-se aproximação “quase estacionária” (quasi-steady) quando as variações temporais são muito lentas; aí, sob certas hipóteses, também se usa a equação sem \partial T/\partial t. Mas isso é uma aproximação justificável caso a caso.

Passo 6

Conclusão direta e encorajamento: a ausência do termo temporal é o sinal definitivo. Lembra: quando vir \partial T/\partial t é transiente; quando não vir, é permanente. Você já sabe o que procurar na prova — bateu o desespero, mas isso é rápido de identificar!

Resposta

Permanente (estado estacionário).

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