Se
for identicamente igual a 1 , o que podemos concluir sobre
e
?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a função indicadora de dois conjuntos
e
satisfaz
identicamente (ou seja, vale para todo ponto do espaço). O conteúdo aqui é sobre funções indicadoras (ou seja, “função que vale 1 quando o ponto está no conjunto e 0 caso contrário”) e propriedades básicas de conjuntos (união, interseção, complementar). Para resolver a questão a gente vai usar:
- A propriedade
. - Interpretar o que significa
para cada ponto.
Passo 2
Primeiro, lembra que a indicadora
vale 1 se
e 0 se
. Logo:
ou seja,
. O mesmo vale pra
.
Passo 3
Substituindo na soma dada, a identidade vira
Isso vale para todo ponto
. Vamos ver o que isso obriga para cada
:
-
Se
, então , mas precisa ser 1. Contradição. Logo não existe em , ou seja -
Se
e , então , mas precisa ser 1. Também não pode rolar. Então não existe fora dos dois conjuntos, ou seja (ondeé o espaço todo).
Passo 4
Das duas conclusões acima tiramos que
e
são conjuntos disjuntos cuja união é o espaço todo. Em linguagem de probabilidade/eventos, isso significa que
é exatamente o complementar de
:
Resposta
Podemos concluir que
e
são disjuntos e cobrem todo o espaço, ou seja,
.