Se 1A^2+1B^2 for identicamente igual a 1 , o que podemos concluir sobre A e B ?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a função indicadora de dois conjuntos 1A^2 + 1B^2 equiv 1 e satisfaz
identicamente (ou seja, vale para todo ponto do espaço). O conteúdo aqui é sobre funções indicadoras (ou seja, “função que vale 1 quando o ponto está no conjunto e 0 caso contrário”) e propriedades básicas de conjuntos (união, interseção, complementar). Para resolver a questão a gente vai usar:
  • A propriedade .
  • Interpretar o que significa para cada ponto.

Passo 2

Primeiro, lembra que a indicadora 1A^2(omega) = (1A(omega))^2 = 1^2 = 1, & omega in A, 0^2 = 0, & omega notin A, vale 1 se e 0 se . Logo:
ou seja, . O mesmo vale pra .

Passo 3

Substituindo na soma dada, a identidade vira
1A + 1B = 1
Isso vale para todo ponto A cap B = emptyset . Vamos ver o que isso obriga para cada A cup B = Omega :
  • Se , então , mas precisa ser 1. Contradição. Logo não existe em , ou seja
  • Se e , então , mas precisa ser 1. Também não pode rolar. Então não existe fora dos dois conjuntos, ou seja
    (onde é o espaço todo).

Passo 4

Das duas conclusões acima tiramos que B = A^c e são conjuntos disjuntos cuja união é o espaço todo. Em linguagem de probabilidade/eventos, isso significa que é exatamente o complementar de :

Resposta

Podemos concluir que e são disjuntos e cobrem todo o espaço, ou seja, .

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