Se A cap B^c=B cap A^c, o que sabemos a respeito da relação entre A e B ?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Se , o que podemos concluir sobre a relação entre e ?”
Conteúdo: Teoria de conjuntos – operações de interseção e complementar (que dá diferença de conjuntos).
O que vamos precisar:
  • Saber que e .
  • Usar raciocínio de inclusão de conjuntos e a ideia de conjunto vazio.

Passo 2

Primeiro, note que
Acap B^c = Asetminus B e Bcap A^c = Bsetminus A
Então a condição do enunciado vira
Asetminus B ;=; Bsetminus A

Passo 3

Vamos mostrar que Asetminus B = varnothing tem de ser vazio.
Suponha, para fins de contradição, que exista um elemento .
  • Por definição de , temos e .
  • Mas como , esse mesmo estaria em .
  • Logo, e .
    Isso é impossível (não pode ter e ao mesmo tempo ).
    Portanto não existe tal ; concluímos
Isto significa .

Passo 4

De forma análoga, como Bsetminus A = varnothing Longrightarrow Bsubseteq A , o mesmo argumento mostra que
Se e , então os dois conjuntos são iguais.

Resposta

A conclusão é que
boxed,A = B,

Exercícios relacionados