Em uma linha de produção, peças são produzidas e a qualidade de cada peça é avaliada. Suponha que uma amostra de n peças seja produzida, sendo que a cada peça i é associada uma variável Xi que assume o valor 1 caso a peça seja defeituosa e assume 0 caso contrário. Suponha que as ocorrências de defeito nas peças sejam eventos independentes e que a probabilidade de defeito seja p=0,1 ( 10 % ).
Use o Teorema Central do Limite para obter uma aproximação Normal para barX, isto é, quais os valores de mu e sigma^2 da distribuição N(mu, sigma^2) devem ser usados para aproximar a distribuição de barX ?

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é a gente olhar pra uma linha de produção onde cada peça é classificada como “defeituosa” (valor 1) ou “boa” (valor 0). A gente pega uma amostra de bar X = 1nsumi=1^n Xi peças, cada uma com uma variável aleatória , que vale 1 se a peça estiver defeituosa e 0 caso contrário. As ocorrências são independentes e a chance de defeito é . A tarefa é usar o Teorema Central do Limite (TCL) pra aproximar a distribuição da média amostral
por uma normal , descobrindo quais são e . Vamos precisar saber o que o TCL diz e também as fórmulas de média e variância de uma Bernoulli.

Passo 2

O Teorema Central do Limite fala que, se bar X = 1nsumi=1^n Xi são i.i.d. com média bar X approx Nl(muX,;sigmaX^2nr) e variância , então, para grande,
se comporta como uma normal aproximada
Ou seja, a média da normal é a média da distribuição original e a variância é a variância original dividida por .

Passo 3

No nosso caso, cada muX = E[Xi] = p, sigmaX^2 = Var(Xi) = p(1-p) é Bernoulli com parâmetro muX = 0,1, sigmaX^2 = 0,1 times (1 - 0,1) = 0,1 times 0,9 = 0,09 . Da teoria da Bernoulli sabemos que:
Como , temos

Passo 4

Aplicando o TCL, a média amostral bar X approx Nl(muX,;sigmaX^2nr) = Nl(0,1,;0,09nr) fica aproximada por

Resposta

mu = 0,1, sigma^2 = 0,09n

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