Em uma linha de produção, peças são produzidas e a qualidade de cada peça é avaliada. Suponha que uma amostra de n peças seja produzida, sendo que a cada peça i é associada uma variável
que assume o valor 1 caso a peça seja defeituosa e assume 0 caso contrário. Suponha que as ocorrências de defeito nas peças sejam eventos independentes e que a probabilidade de defeito seja
(
).
Use o Teorema Central do Limite para obter uma aproximação Normal para
, isto é, quais os valores de
e
da distribuição
devem ser usados para aproximar a distribuição de
?
Use o Teorema Central do Limite para obter uma aproximação Normal para
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é a gente olhar pra uma linha de produção onde cada peça é classificada como “defeituosa” (valor 1) ou “boa” (valor 0). A gente pega uma amostra de
peças, cada uma com uma variável aleatória
, que vale 1 se a peça estiver defeituosa e 0 caso contrário. As ocorrências são independentes e a chance de defeito é
. A tarefa é usar o Teorema Central do Limite (TCL) pra aproximar a distribuição da média amostral
por uma normal
, descobrindo quais são
e
. Vamos precisar saber o que o TCL diz e também as fórmulas de média e variância de uma Bernoulli.
Passo 2
O Teorema Central do Limite fala que, se
são i.i.d. com média
e variância
, então, para
grande,
se comporta como uma normal aproximada
Ou seja, a média da normal é a média da distribuição original e a variância é a variância original dividida por
.
Passo 3
No nosso caso, cada
é Bernoulli com parâmetro
. Da teoria da Bernoulli sabemos que:
Como
, temos
Passo 4
Aplicando o TCL, a média amostral
fica aproximada por