Se A cap B=B cup A, o que podemos concluir sobre A e B ?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos dois conjuntos A cap B ;=; B cup A e e que
O conteúdo da matéria é teoria dos conjuntos, mais especificamente as operações de interseção ( ) e união ( ). Para resolver, a gente vai usar as definições básicas dessas operações e mostrar que, se a interseção for igual à união, os dois conjuntos têm que ser exatamente o mesmo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa cada operação:
  • significa que o elemento pertence a e ao mesmo tempo a .
  • significa que o elemento pertence a ou a (ou aos dois).
Então, é o conjunto “só com o que está em comum” e é o conjunto “com tudo o que está em pelo menos um dos dois”.

Passo 3

A ideia é mostrar que todo elemento de está em , e todo elemento de está em . Isso se faz mostrando duas inclusões:
Se a gente provar essas duas, conclui que .

Passo 4

Prova de :
  • Pegue um elemento qualquer .
  • Como , fica claro que (porque união aceita “ou”).
  • Mas o enunciado diz que . Logo, .
  • Então está em também (pra estar em , precisa estar em e em , mas já sabíamos que está em ).
  • Concluímos: qualquer está em , ou seja, .

Passo 5

Prova de :
  • Agora pegue .
  • De novo, implica .
  • Pela igualdade dada, .
  • Logo .
  • Assim .

Resposta

Como mostramos boxedA = B e , a única conclusão possível é

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