Se
, o que podemos concluir sobre
e
?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos dois conjuntos
e
e que
O conteúdo da matéria é teoria dos conjuntos, mais especificamente as operações de interseção (
) e união (
). Para resolver, a gente vai usar as definições básicas dessas operações e mostrar que, se a interseção for igual à união, os dois conjuntos têm que ser exatamente o mesmo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa cada operação:
-
significa que o elemento pertence a e ao mesmo tempo a . -
significa que o elemento pertence a ou a (ou aos dois).
Então,
é o conjunto “só com o que está em comum” e
é o conjunto “com tudo o que está em pelo menos um dos dois”.
Passo 3
A ideia é mostrar que todo elemento de
está em
, e todo elemento de
está em
. Isso se faz mostrando duas inclusões:
Se a gente provar essas duas, conclui que
.
Passo 4
Prova de
:
- Pegue um elemento qualquer
. - Como
, fica claro que (porque união aceita “ou”). - Mas o enunciado diz que
. Logo, . - Então
está em também (pra estar em , precisa estar em e em , mas já sabíamos que está em ). - Concluímos: qualquer
está em , ou seja, .
Passo 5
Prova de
:
- Agora pegue
. - De novo,
implica . - Pela igualdade dada,
. - Logo
. - Assim
.
Resposta
Como mostramos
e
, a única conclusão possível é